Жарым-тұрақты абелдік сан түрлері және олардың тоғысуы
Semistable abelian variety
Жалпы/жергілікті саладағы алгебралық геометриядағы жартылай тұрақты абелдік сан алуандықтары, олардың жай сандардағы кемуі арқылы сипатталады. Нерон моделі туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Алгебралық геометрияда, жартылай тұрақты абельдік түрлілік – бұл жаһандық немесе жергілікті өріс үстінде анықталған абельдік түрлілік, ол өрістің жай сандарында қалай азаятынымен сипатталады. Абельдік түрлілік, бүтін сандар сақинасы бар өріс үстінде анықталған болса, оның Нерон моделін қарастырайық, ол осы түрліліктің ең жақсы моделі болып табылады. Бұл модельді схема ретінде көрсетуге болады (сақина спектріне қараңыз), оның жай талшығы мынадай морфизм арқылы құрылады:
In algebraic geometry, a semistable abelian variety is an abelian variety defined over a global or local field, which is characterized by how it reduces at the primes of the field. For an abelian variety defined over a field with ring of integers , consider the Néron model of , which is a 'best possible' model of defined over This model may be represented as a scheme over (cf. spectrum of a ring) for which the generic fibre constructed by means of the morphism
ол бастапқы абельдік түрлілікті қайтарады. Нерон моделі – тегіс топтық схема, сондықтан біз Нерон моделінің байланысқан компонентін қарастыра аламыз, ол топтық заң бойынша сәйкестікті қамтиды. Бұл Нерон моделінің ашық кіші топтық схемасы. Қалдық өрісі үшін , бұл өріс үстіндегі топтық түрлілік, демек абельдік түрліліктің сызықтық топпен кеңейтілуі. Егер бұл сызықтық топ алгебралық торус болса, яғни ол жартылай абельдік түрлілік болса, онда ол тиісті жай санға сәйкес жартылай тұрақты азаяды. Егер өріс жаһандық болса, онда ол барлық жай сандарда жақсы немесе жартылай тұрақты азаятын болса, жартылай тұрақты болады. Александр Гротендиктің негізгі жартылай тұрақтылық теоремасы, абельдік түрліліктің өрістің шекті кеңейтілуінде жартылай тұрақты азаятынын көрсетеді.
gives back The Néron model is a smooth group scheme, so we can consider , the connected component of the Néron model which contains the identity for the group law. This is an open subgroup scheme of the Néron model. For a residue field , is a group variety over , hence an extension of an abelian variety by a linear group. If this linear group is an algebraic torus, so that is a semiabelian variety, then has semistable reduction at the prime corresponding to If is a global field, then is semistable if it has good or semistable reduction at all primes. The fundamental semistable reduction theorem of Alexander Grothendieck states that an abelian variety acquires semistable reduction over a finite extension of .
Жартылай тұрақты эллипстік қисық
Жартылай тұрақты эллипстік қисықты мультипликативтік типтегі жаман редукцияға ие эллипстік қисық ретінде нақтырақ сипаттауға болады. Е деп рационал сандар өрісінде анықталған эллипстік қисықты алайық. Белгілі болғандай, E үшін жаман редукцияға модул p бойынша ие болатын p санының шекті, бос емес S жиыны бар. Соңғысы, E қисығын p элементі бар жай өріске редукциялау арқылы алынған қисықта жекеше нүкте болатынын білдіреді. Дәлірек айтқанда, мультипликативтік редукция шарты жекеше нүкте төбелік емес, екі есе нүкте екенін көрсетеді. Бұл шарттың орындалуын Тейт алгоритмі арқылы тиімді есептеуге болады.
A semistable elliptic curve may be described more concretely as an elliptic curve that has bad reduction only of multiplicative type. Suppose E is an elliptic curve defined over the rational number field It is known that there is a finite, non empty set S of prime numbers p for which E has bad reduction modulo p. The latter means that the curve obtained by reduction of E to the prime field with p elements has a singular point. Roughly speaking, the condition of multiplicative reduction amounts to saying that the singular point is a double point, rather than a cusp. Deciding whether this condition holds is effectively computable by Tate's algorithm.