Введение

В алгебраической геометрии полустабильное абелево многообразие — это абелево многообразие, определенное над глобальным или локальным полем, которое характеризуется тем, как оно редуцируется в простых числах поля. Для абелева многообразия, определенного над полем с кольцом целых чисел, рассмотрим модель Нерона, которая является "наилучшей возможной" моделью, определенной над этим кольцом. Эта модель может быть представлена как схема над кольцом целых чисел (см. спектр кольца), для которой обобщенное волокно, построенное посредством морфизма

возвращает исходное абелево многообразие. Модель Нерона является гладкой групповой схемой, поэтому мы можем рассмотреть , связную компоненту модели Нерона, содержащую единичный элемент для группового закона. Это открытая подгрупповая схема модели Нерона. Для поля вычетов , является групповым многообразием над этим полем, следовательно, расширением абелева многообразия линейной группой. Если эта линейная группа является алгебраическим тором, так что является полуабелевым многообразием, то имеет полустабильное редуцирование в простом числе, соответствующем этому полю вычетов. Если является глобальным полем, то является полустабильным, если оно имеет хорошее или полустабильное редуцирование во всех простых числах. Фундаментальная теорема о полустабильном редуцировании Александра Гротендика утверждает, что абелево многообразие приобретает полустабильное редуцирование над конечным расширением исходного поля.

Полустабильная эллиптическая кривая

Полустабильная эллиптическая кривая может быть описана более конкретно как эллиптическая кривая, имеющая плохое восстановление только мультипликативного типа. Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел. Известно, что существует конечное, непустое множество S простых чисел p, для которых E имеет плохое восстановление по модулю p. Последнее означает, что кривая, полученная восстановлением E по конечному полю с p элементами, имеет сингулярную точку. Грубо говоря, условие мультипликативного восстановления означает, что сингулярная точка является двойной точкой, а не точкой перегиба. Проверка выполнения этого условия эффективно вычислима с помощью алгоритма Тейта.