Кіріспе
Векторлық кеңістіктің аффиндік ішкі жиындары және векторлық кеңістіктердің бөлінділері. Сызықтық алгебрада векторлық кеңістіктің ішкі кеңістік бойынша бөліндісі – нөлге «қайтару» арқылы алынатын векторлық кеңістік. Алынған кеңістік бөлінді кеңістік деп аталады және символымен белгіленеді ("mod" немесе "by" деп оқылады).
quotients of vector spaces
In linear algebra, the quotient of a vector space by a subspace is a vector space obtained by "collapsing" to zero. The space obtained is called a quotient space and is denoted (read " mod " or " by ").
Картезиандық жазықтықтағы сызықтар
1=X = R2 стандартты Картезиан жазықтығы болсын, ал Y – X-тің нөл нүктесі арқылы өтетін түзу болсын. Онда X/Y коэффициенттік кеңістігі X-те Y-ге параллель барлық түзулердің кеңістігімен теңдестіріледі. Яғни, X/Y жиынының элементтері – Y-ге параллель X-тегі түзулер. Кез келген мұндай түзу бойындағы нүктелер эквиваленттілік қатынасын қанағаттандырады, себебі олардың айырым векторлары Y-ге жатады. Бұл үлестік кеңістіктерді геометриялық тұрғыдан көруге мүмкіндік береді. (Бұл түзулерді қайта параметрлеу арқылы, коэффициенттік кеңістікті Y-ге параллель емес нөл нүктесі арқылы өтетін түзу бойындағы барлық нүктелердің кеңістігі ретінде дәстүрлі түрде көрсетуге болады. Сол сияқты, R3 үшін нөл нүктесі арқылы өтетін түзудің үлестік кеңістігі барлық тең қатарлы түзулер жиыны ретінде немесе тек нөл нүктесінде ғана түзумен қиылысатын жазықтықтан тұратын векторлық кеңістік ретінде бейнеленуі мүмкін.)
Картезиан кеңістігінің кіші кеңістіктері
Тағы бір мысал – Rn кеңістігін бірінші m стандартты базистік векторлармен құрылған ішкі кеңістікке бөлу. Rn кеңістігі барлық n нақты саннан тұратын n-діктерден (x1, …, xn) құралған. Rm-мен сәйкес келетін ішкі кеңістік, соңғы n – m мүшесі нөлге тең болатын барлық n-діктерден тұрады: (x1, …, xm, 0, 0, …, 0). Rn кеңістігіндегі екі вектор, егер және тек қана олардың соңғы n – m координаталары бірдей болса, ғана осы ішкі кеңістік бойынша эквиваленттілік класында жатады. Rn/Rm бөлінді кеңістігі Rn−m кеңістігіне түсінікті тәсілмен изоморфты.
Көптамалық векторлық кеңістік
Нақты сандардағы барлық кубтық көпмүшелердің құрамындағы векторлық кеңістік болсын. Онда – бұл фактор кеңістік, онда әрбір элемент квадраттық мүшемен ғана ерекшеленетін көпмүшелер жиынына сәйкес келеді. Мысалы, фактор кеңістіктің бір элементі – , ал фактор кеңістіктің тағы бір элементі – .
Лебег интегралдары
Функционалдық бөліктік кеңістіктің маңызды мысалы – Lp кеңістігі.
Қасиеттері
V-ден V/U коэффициенттік кеңістігіне табиғи эпиморфизм бар, ол x-ті оның эквиваленттілік класына [x] жіберу арқылы беріледі. Бұл эпиморфизмнің ядросы (немесе нөлдік кеңістік) U субкеңістігі болып табылады. Бұл қатынас қысқа дәл тізбекпен жақсы қорытындыланады. Егер U V-дің қосалқы кеңістігі болса, V/U өлшемі V-дегі U-дің кодименсиясы деп аталады. V-дің негізі U-нің A және V/U-ның B негізінен A-ға B-нің әрбір элементінің өкілін қосу арқылы құралуы мүмкін болғандықтан, V-дің өлшемі U және V/U өлшемдерінің қосындысы болып табылады. Егер V шекті өлшемді болса, онда U-дің V-дегі кодименсиясы V мен U өлшемдерінің айырмасы болып табылады:
If U is a subspace of V, the dimension of V/U is called the codimension of U in V. Since a basis of V may be constructed from a basis A of U and a basis B of V/U by adding a representative of each element of B to A, the dimension of V is the sum of the dimensions of U and V/U. If V is finite dimensional, it follows that the codimension of U in V is the difference between the dimensions of V and U:
Let T : V → W be a linear operator. The kernel of T, denoted ker(T), is the set of all x in V such that Tx = 0. The kernel is a subspace of V. The first isomorphism theorem for vector spaces says that the quotient space V/ker(T) is isomorphic to the image of V in W. An immediate corollary, for finite dimensional spaces, is the rank–nullity theorem: the dimension of V is equal to the dimension of the kernel (the nullity of T) plus the dimension of the image (the rank of T). The cokernel of a linear operator T : V → W is defined to be the quotient space W/im(T).
T: V → W сызықтық оператор болсын. T ядросы, ker(T) деп белгіленеді, бұл V-дегі барлық x-тердің жиыны, сондықтан Tx = 0. Ядро V-дің қосалқы кеңістігі болып табылады. Векторлық кеңістіктер үшін бірінші изоморфизм теоремасы V/ker(T) коэффициенттік кеңістігінің W-дегі T бейнесіне изоморфты екенін айтады. Мұнан туындайтын дерек, шекті өлшемді кеңістіктер үшін, ранг-нөлдік теорема: V-дің өлшемі ядроның өлшеміне (T-нің нөлдігі) және бейне өлшеміне (T-нің рангі) тең. Сызықтық оператордың кокер ядросы T: V → W W/im(T) коэффициенттік кеңістігі деп анықталады.
If U is a subspace of V, the dimension of V/U is called the codimension of U in V. Since a basis of V may be constructed from a basis A of U and a basis B of V/U by adding a representative of each element of B to A, the dimension of V is the sum of the dimensions of U and V/U. If V is finite dimensional, it follows that the codimension of U in V is the difference between the dimensions of V and U:
Let T : V → W be a linear operator. The kernel of T, denoted ker(T), is the set of all x in V such that Tx = 0. The kernel is a subspace of V. The first isomorphism theorem for vector spaces says that the quotient space V/ker(T) is isomorphic to the image of V in W. An immediate corollary, for finite dimensional spaces, is the rank–nullity theorem: the dimension of V is equal to the dimension of the kernel (the nullity of T) plus the dimension of the image (the rank of T). The cokernel of a linear operator T : V → W is defined to be the quotient space W/im(T).
Банах кеңістігінің субкеңістіктен квотиенті
Егер X Банах кеңістігі болса және M X-тің жабық ішкі кеңістігі болса, онда X/M квозиенті қайтадан Банах кеңістігі болады. Квозиенттік кеңістік бұрынғы бөлімнің құрылысымен векторлық кеңістік ретінде берілген. X/M кеңістігіндегі норманы былай анықтаймыз:
Мысалдар
C[0,1] - [0,1] аралығындағы үздіксіз, нақты мәнді функциялардың суп нормасымен берілген Банах кеңістігін белгілейік. f(0) = 0 шартын қанағаттандыратын барлық f ∈ C[0,1] функцияларының ішкі кеңістігін M деп атаймыз. Онда g функциясының эквиваленттілік класы оның 0-дегі мәнімен анықталады, ал C[0,1]/M фактор кеңістігі R-ге изоморфты болады. Егер X – Хилберт кеңістігі болса, онда X/M фактор кеңістігі M-нің ортогоналды толықтыруына изоморфты болады.
If X is a Hilbert space, then the quotient space X/M is isomorphic to the orthogonal complement of M.
Жергілікті пішінді кеңістікке жалпылау
Жабық қосалқы кеңістіктің жергілікті дөңес кеңістіктің бөліндісі қайтадан жергілікті дөңес болады. Шындығында, X жергілікті дөңес деп есептейік, осылайша X-тегі топологияны {pα | α ∈ A} семинормалар жиыны жасайды, мұнда A – индекс жиыны. M жабық қосалқы кеңістік болсын, және X/M-де qα семинормаларын былай анықтаңыз:
Содан кейін X/M жергілікті дөңес кеңістік болады, ал оның топологиясы – бөлінді топологиясы. Егер, сонымен қатар, X метрикалық кеңістік болса, онда X/M да метрикалық кеңістік болады. Егер X – Фреше кеңістігі болса, онда X/M да Фреше кеңістігі болады.