Введение
Векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств.
Факторпространства векторных пространств
quotients of vector spaces
В линейной алгебре факторпространством векторного пространства по подпространству является векторное пространство, полученное путем "схлопывания" подпространства в ноль. Полученное пространство называется факторпространством и обозначается (читается "по модулю" или "по").
Линии в картезианской плоскости
Пусть 1=X=R2 будет стандартной декартовой плоскостью, а Y — прямой, проходящей через начало координат в X. Тогда факторпространство X/Y можно отождествить с пространством всех прямых в X, параллельных Y. То есть, элементы множества X/Y — это прямые в X, параллельные Y. Обратите внимание, что точки на любой из таких прямых удовлетворяют отношению эквивалентности, поскольку векторы, соединяющие эти точки, принадлежат Y. Это позволяет геометрически визуализировать факторпространства. (Перепараметризовав эти прямые, факторпространство можно более стандартно представить как пространство всех точек на прямой, проходящей через начало координат и не параллельной Y. Аналогично, факторпространство для R3 по прямой, проходящей через начало координат, можно снова представить как множество всех компланарных прямых, или, альтернативно, как векторное пространство, состоящее из плоскости, пересекающей данную прямую только в начале координат.)
Подпространства картезианского пространства
Другой пример — факторпространство Rn по подпространству, порожденному первыми m стандартными базисными векторами. Пространство Rn состоит из всех n-ок действительных чисел (x1, …, xn). Подпространство, отождествляемое с Rm, состоит из всех n-ок, у которых последние n − m координат равны нулю: (x1, …, xm, 0, 0, …, 0). Два вектора из Rn находятся в одном классе эквивалентности по модулю подпространства тогда и только тогда, когда они совпадают в последних n − m координатах. Факторпространство Rn/Rm изоморфно Rn−m очевидным образом.
Многочленное векторное пространство
Пусть $\mathbb{P}_3$ будет векторным пространством всех кубических многочленов над действительными числами. Тогда $\mathbb{P}_3$ является фактор-пространством, где каждый элемент представляет собой множество многочленов, отличающихся друг от друга лишь квадратным членом. Например, один элемент фактор-пространства — это $x^3 + 1$, а другой элемент фактор-пространства — это $x^3 + x$.
Интегралы Лебега
Важным примером фактор-пространства является пространство Lp.
Свойства
Существует естественный эпиморфизм из V в факторпространство V/U, заданный отображением x в его класс эквивалентности [x]. Ядро (или нулевое пространство) этого эпиморфизма – подпространство U. Эта связь кратко суммируется короткой точной последовательностью. Если U является подпространством V, то размерность V/U называется коразмерностью U в V. Поскольку базис V может быть построен из базиса A пространства U и базиса B пространства V/U путем добавления представителя каждого элемента B к A, размерность V равна сумме размерностей U и V/U. Если V конечномерно, то следует, что коразмерность U в V равна разности между размерностями V и U:
If U is a subspace of V, the dimension of V/U is called the codimension of U in V. Since a basis of V may be constructed from a basis A of U and a basis B of V/U by adding a representative of each element of B to A, the dimension of V is the sum of the dimensions of U and V/U. If V is finite dimensional, it follows that the codimension of U in V is the difference between the dimensions of V and U:
Let T : V → W be a linear operator. The kernel of T, denoted ker(T), is the set of all x in V such that Tx = 0. The kernel is a subspace of V. The first isomorphism theorem for vector spaces says that the quotient space V/ker(T) is isomorphic to the image of V in W. An immediate corollary, for finite dimensional spaces, is the rank–nullity theorem: the dimension of V is equal to the dimension of the kernel (the nullity of T) plus the dimension of the image (the rank of T). The cokernel of a linear operator T : V → W is defined to be the quotient space W/im(T).
Пусть T : V → W – линейный оператор. Ядро T, обозначаемое ker(T), – это множество всех x из V, таких что Tx = 0. Ядро является подпространством V. Первая теорема об изоморфизме для векторных пространств утверждает, что факторпространство V/ker(T) изоморфно образу T в W. Непосредственным следствием для конечномерных пространств является теорема о ранге и нуль-пространстве: размерность V равна размерности ядра (нуль-размерности T) плюс размерность образа (рангу T). Коядро линейного оператора T : V → W определяется как факторпространство W/im(T).
If U is a subspace of V, the dimension of V/U is called the codimension of U in V. Since a basis of V may be constructed from a basis A of U and a basis B of V/U by adding a representative of each element of B to A, the dimension of V is the sum of the dimensions of U and V/U. If V is finite dimensional, it follows that the codimension of U in V is the difference between the dimensions of V and U:
Let T : V → W be a linear operator. The kernel of T, denoted ker(T), is the set of all x in V such that Tx = 0. The kernel is a subspace of V. The first isomorphism theorem for vector spaces says that the quotient space V/ker(T) is isomorphic to the image of V in W. An immediate corollary, for finite dimensional spaces, is the rank–nullity theorem: the dimension of V is equal to the dimension of the kernel (the nullity of T) plus the dimension of the image (the rank of T). The cokernel of a linear operator T : V → W is defined to be the quotient space W/im(T).
Квотиент пространства Банаха на подпространство
Если X – пространство Банаха, а M – замкнутое подпространство X, то фактор-пространство X/M снова является пространством Банаха. Фактор-пространство уже имеет структуру векторного пространства по построению из предыдущего раздела. Определим норму на X/M следующим образом:
Примеры
Пусть C[0,1] обозначает пространство Банаха непрерывных вещественнозначных функций на интервале [0,1] с супремум-нормой. Обозначим подпространство всех функций f ∈ C[0,1], удовлетворяющих условию f(0) = 0, через M. Тогда класс эквивалентности любой функции g определяется её значением в точке 0, и фактор-пространство C[0,1]/M изоморфно R. Если X – гильбертово пространство, то фактор-пространство X/M изоморфно ортогональному дополнению M.
If X is a Hilbert space, then the quotient space X/M is isomorphic to the orthogonal complement of M.
Обобщение на локально выпуклые пространства
Частное локально выпуклого пространства по замкнутому подпространству снова является локально выпуклым. Действительно, предположим, что X локально выпукло, так что топология на X порождается семейством полунорм {pα | α ∈ A}, где A – индексное множество. Пусть M – замкнутое подпространство, и определим полунормы qα на X/M следующим образом:
Тогда X/M является локально выпуклым пространством, и топология на нем является фактор-топологией. Если, кроме того, X метризуемо, то и X/M метризуемо. Если X – пространство Фреше, то и X/M – пространство Фреше.