Кіріспе
Математикадағы метрикалық кеңістіктердің жалпылануы. Математикада псевдометрикалық кеңістік – екі әртүрлі нүктенің арақашықтығы нөлге тең болуы мүмкін метрикалық кеңістіктің жалпылануы болып табылады. Псевдометрикалық кеңістіктер 1934 жылы Джуро Курепа енгізген. Барлық нормаланған кеңістіктер метрикалық кеңістіктер болғандай, барлық семинармаланған кеңістіктер де псевдометрикалық кеңістіктер болып табылады. Осы ұқсастық салдарынан, семиметрикалық кеңістік термині (топологияда басқа мағынасы бар) кейде, әсіресе функционалдық анализде, синоним ретінде қолданылады. Псевдометриялар жиымын қолданып топология құрылған кезде, кеңістік өлшегіш кеңістік деп аталады.
In mathematics, a pseudometric space is a generalization of a metric space in which the distance between two distinct points can be zero. Pseudometric spaces were introduced by Đuro Kurepa in 1934. In the same way as every normed space is a metric space, every seminormed space is a pseudometric space. Because of this analogy, the term semimetric space (which has a different meaning in topology) is sometimes used as a synonym, especially in functional analysis. When a topology is generated using a family of pseudometrics, the space is called a gauge space.
Мысалдар
Кез келген метрикалық кеңістік псевдометрикалық кеңістік болып табылады. Псевдометрия функционалдық талдауда табиғи түрде туындайды. Нақты мәнді функциялар кеңістігін және бір арнайы нүктені қарастырайық. Бұл нүкте функциялар кеңістігінде псевдометрияны тудырады, ол үшін берілген. А семинары псевдометрияны тудырады. Бұл аффиндік функцияның дөңес функциясы (әсіресе, жылжу), сондықтан дөңес (сондай-ақ үшін). Керісінше, біртекті, жылжуға қатысты өзгермейтін псевдометрия семинар тудырады. Псевдометрия гиперболалық кешенді көптүрліліктер теориясында да кездеседі: Кобаяши метрикасын қараңыз. Кез келген өлшем кеңістігін үшбұрыштың симметриялық айырмасын білдіретін барлық үшін анықтау арқылы толық псевдометриялық кеңістік ретінде қарастыруға болады. Егер f функция болса және d2 X2 кеңістігіндегі псевдометрия болса, онда d1 X1 кеңістігіндегі псевдометрияны береді. Егер d2 метрикалық болса және f инъективті болса, онда d1 метрикалық болады.
A seminorm induces the pseudometric This is a convex function of an affine function of (in particular, a translation), and therefore convex in (Likewise for .) Conversely, a homogeneous, translation invariant pseudometric induces a seminorm. Pseudometrics also arise in the theory of hyperbolic complex manifolds: see Kobayashi metric. Every measure space can be viewed as a complete pseudometric space by defining for all where the triangle denotes symmetric difference. If is a function and d2 is a pseudometric on X2, then gives a pseudometric on X1. If d2 is a metric and f is injective, then d1 is a metric.
Метрлік идентификация
Псевдометрияның жоғалуы эквиваленттік қатынасты тудырады, ол метрикалық сәйкестендіру деп аталады, және псевдометриялық кеңістікті толыққанды метрикалық кеңістікке айналдырады. Бұл, осы эквиваленттік қатынас бойынша, кеңістік -тің коэффициенттік кеңістігін анықтау және деп анықтау арқылы жасалады.
This is well defined because for any we have that and so and vice versa. Then is a metric on and is a well defined metric space, called the metric space induced by the pseudometric space
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset is open (or closed) in if and only if is open (or closed) in and is saturated. The topological identification is the Kolmogorov quotient. An example of this construction is the completion of a metric space by its Cauchy sequences.
Бұл дұрыс анықталған, себебі кез келген үшін және екендігін білеміз, демек және керісінше. Содан кейін - кеңістік -те метрика болып табылады және жақсы анықталған метрикалық кеңістік болады, ол псевдометриялық кеңістік тудырған метрикалық кеңістік деп аталады.
This is well defined because for any we have that and so and vice versa. Then is a metric on and is a well defined metric space, called the metric space induced by the pseudometric space
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset is open (or closed) in if and only if is open (or closed) in and is saturated. The topological identification is the Kolmogorov quotient. An example of this construction is the completion of a metric space by its Cauchy sequences.
Метрикалық сәйкестендіру туындаған топологияларды сақтайды. Яғни, көшірмесі кеңістігінде ашық (немесе жабық) болса және ғана кеңістігінде ашық (немесе жабық) болады және қанықтырылған. Топологиялық сәйкестендіру – Колмогоров коэффициенті. Бұл құрылымның мысалы – метрикалық кеңістіктің оның Коши тізбектері арқылы толықтырылуы.
This is well defined because for any we have that and so and vice versa. Then is a metric on and is a well defined metric space, called the metric space induced by the pseudometric space
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset is open (or closed) in if and only if is open (or closed) in and is saturated. The topological identification is the Kolmogorov quotient. An example of this construction is the completion of a metric space by its Cauchy sequences.