Введение
Обобщение метрических пространств в математике
В математике псевдометрическое пространство является обобщением метрического пространства, в котором расстояние между двумя различными точками может быть равно нулю. Псевдометрические пространства были введены Дзюро Курепой в 1934 году. Подобно тому, как каждое нормированное пространство является метрическим пространством, каждое семинармированное пространство является псевдометрическим пространством. В силу этой аналогии термин полуметрическое пространство (который имеет иное значение в топологии) иногда используется как синоним, особенно в функциональном анализе. Если топология порождена семейством псевдометрик, то пространство называется измеримым пространством.
In mathematics, a pseudometric space is a generalization of a metric space in which the distance between two distinct points can be zero. Pseudometric spaces were introduced by Đuro Kurepa in 1934. In the same way as every normed space is a metric space, every seminormed space is a pseudometric space. Because of this analogy, the term semimetric space (which has a different meaning in topology) is sometimes used as a synonym, especially in functional analysis. When a topology is generated using a family of pseudometrics, the space is called a gauge space.
Примеры
Любое метрическое пространство является псевдометрическим пространством. Псевдометрики возникают естественным образом в функциональном анализе. Рассмотрим пространство функций, принимающих вещественные значения, вместе со специальной точкой. Эта точка индуцирует псевдометрику на пространстве функций, заданную для . Семинорма индуцирует псевдометрику. Это выпуклая функция аффинной функции (в частности, сдвига), и, следовательно, выпуклая по (аналогично для ). Обратно, однородная, инвариантная относительно сдвигов псевдометрика индуцирует семинорму. Псевдометрики также возникают в теории гиперболических комплексных многообразий: см. метрику Кобаяши. Любое пространство с мерой можно рассматривать как полное псевдометрическое пространство, определив для всех , где треугольник обозначает симметричную разность. Если – функция, а d2 – псевдометрика на X2, то индуцирует псевдометрику на X1. Если d2 – метрика, а f – инъекция, то d1 – метрика.
A seminorm induces the pseudometric This is a convex function of an affine function of (in particular, a translation), and therefore convex in (Likewise for .) Conversely, a homogeneous, translation invariant pseudometric induces a seminorm. Pseudometrics also arise in the theory of hyperbolic complex manifolds: see Kobayashi metric. Every measure space can be viewed as a complete pseudometric space by defining for all where the triangle denotes symmetric difference. If is a function and d2 is a pseudometric on X2, then gives a pseudometric on X1. If d2 is a metric and f is injective, then d1 is a metric.
Метрическая идентификация
Исчезновение псевдометрики порождает отношение эквивалентности, называемое метрической отождествлением, которое преобразует псевдометрическое пространство в полноценное метрическое пространство. Это достигается путем определения: если , то . Пусть – фактор-пространство по этому отношению эквивалентности, и определим .
This is well defined because for any we have that and so and vice versa. Then is a metric on and is a well defined metric space, called the metric space induced by the pseudometric space
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset is open (or closed) in if and only if is open (or closed) in and is saturated. The topological identification is the Kolmogorov quotient. An example of this construction is the completion of a metric space by its Cauchy sequences.
Это корректно определено, поскольку для любого выполняется , и наоборот. Тогда является метрикой на , а – корректно определенным метрическим пространством, называемым метрическим пространством, индуцированным псевдометрическим пространством.
This is well defined because for any we have that and so and vice versa. Then is a metric on and is a well defined metric space, called the metric space induced by the pseudometric space
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset is open (or closed) in if and only if is open (or closed) in and is saturated. The topological identification is the Kolmogorov quotient. An example of this construction is the completion of a metric space by its Cauchy sequences.
Метрическое отождествление сохраняет индуцированные топологии. То есть, подмножество открыто (или замкнуто) в тогда и только тогда, когда открыто (или замкнуто) в и является насыщенным. Топологическое отождествление – это фактор Колмогорова. Примером такой конструкции является завершение метрического пространства по его последовательностям Коши.
This is well defined because for any we have that and so and vice versa. Then is a metric on and is a well defined metric space, called the metric space induced by the pseudometric space
The metric identification preserves the induced topologies. That is, a subset is open (or closed) in if and only if is open (or closed) in and is saturated. The topological identification is the Kolmogorov quotient. An example of this construction is the completion of a metric space by its Cauchy sequences.