Кіріспе
Мұрагерлік топология
Топология және математиканың осымен байланысты салаларында, топологиялық кеңістік X-тің ішкі кеңістігі – X-тің S жиыны, ол X-тің топологиясынан туындаған, субкеңістік топологиясы (немесе салыстырмалы топология, немесе индукцияланған топология, немесе із топологиясы) деп аталатын топологиямен жабдықталған.
Терминология
Жинақ пен топологиялық кеңістік арасындағы айырмашылық көбінесе жазбада ыңғайлылық үшін нашарлатылып көрсетіледі, бұл осы анықтамалармен алғаш танысқанда шатасуға себеп болуы мүмкін. Сондықтан, егер - жинағының ішкі жиыны болса және - топологиялық кеңістік болса, онда және символдары жинақ ретіндегі және мен, сондай-ақ жоғарыда талқыланғандай байланысты топологиялық кеңістіктер ретіндегі және тіркелгенде қолданылуы мүмкін. Осылайша, " -тың ашық ішкі кеңістігі" деген сияқты тіркестер жоғарыда қолданылған мағынада, яғни: (i) ; және (ii) ішкі кеңістік топологиясымен жабдықталған деп есептеледі.
Мысалдар
Келесіде нақты сандарды олардың әдеттегі топологиясымен белгілейміз. Натурал сандардың субкеңістік топологиясы , , – дискретті топология. Рационал сандарды субкеңістік ретінде қарастырғанда дискретті топология болмайды (мысалы, {0} жиыны ашық емес, себебі оның пен қиылысы тек {0} жиынынан ғана тұруы мүмкін болатын ашық субжиын жоқ). Егер a және b рационал болса, онда (a, b) және [a, b] аралықтары тиісінше ашық және жабық, бірақ егер a және b иррационал болса, онда a < x < b шартын қанағаттандыратын барлық рационал x жиыны ашық және жабық болады. [0,1] жиыны, субкеңістік ретінде, ашық және жабық, ал субжиын ретінде тек жабық. [0, 1] ∪ [2, 3] субкеңістігі екі бөлек ашық субкеңістіктен (сонымен қатар жабық) тұрады, демек ол ажыратылған кеңістік болып табылады. S = [0, 1) нақты түзудің субкеңістігі болсын. Онда [0, 1/2) жиыны S-де ашық, бірақ -де емес (мысалы, (1/2, 1/2) және S арасындағы қиылысу [0, 1/2) жиынына тең). Сол сияқты, [1/2, 1) жиыны S-де жабық, бірақ -де емес (себебі -де [0, 1) жиынымен қиылысып, [1/2, 1) жиынын беретін ашық кіші жиын жоқ). S өзінің кіші жиыны ретінде ашық және жабық, бірақ -нің кіші жиыны ретінде емес.
Қасиеттері
Субкеңістік топологиясының келесі сипаттамалық қасиеті бар. Егер - кеңістік -тың субкеңістігі болса және - инклюзиялық бейнелеу болса, онда кез келген топологиялық кеңістік үшін, бейнелеуі үздіксіз болады, егер және тек қана құрама бейнелеуі үздіксіз болса. Бұл қасиет субкеңістік топологиясын анықтау үшін қолданылатын сипаттама болып табылады. Субкеңістік топологиясының тағы бірнеше қасиеттерін қарастырайық. Келесіде - кеңістік -тың субкеңістігі болсын. Егер үздіксіз болса, онда -қа шектеуі үздіксіз болады. Егер үздіксіз болса, онда үздіксіз болады. -дағы жабық жиынтықтар, дәл -дағы жабық жиынтықтармен қиылысып, құралады. Егер - кеңістік -тың субкеңістігі болса, онда ол да сол топологиямен -тың субкеңістігі болады. Басқаша айтқанда, -дан мұраға алған субкеңістік топологиясы, -дан мұраға алған субкеңістік топологиясымен бірдей. Егер - кеңістік -тың ашық субкеңістігі болса (яғни ), онда -тың кез келген ішкі жиыны -та ашық болады, егер және тек қана ол -та ашық болса. Егер - кеңістік -тың жабық субкеңістігі болса (яғни ), онда -тың кез келген ішкі жиыны -та жабық болады, егер және тек қана ол -та жабық болса. Егер - кеңістік үшін база болса, онда - кеңістік үшін де база болады. Меторлық кеңістіктің ішкі жиынындағы метриканы шектеу арқылы туындаған топология, осы ішкі жиын үшін субкеңістік топологиясымен сәйкес келеді.
We list some further properties of the subspace topology. In the following let be a subspace of
If is continuous then the restriction to is continuous. If is continuous then is continuous. The closed sets in are precisely the intersections of with closed sets in If is a subspace of then is also a subspace of with the same topology. In other words the subspace topology that inherits from is the same as the one it inherits from Suppose is an open subspace of (so ). Then a subset of is open in if and only if it is open in Suppose is a closed subspace of (so ). Then a subset of is closed in if and only if it is closed in If is a basis for then is a basis for The topology induced on a subset of a metric space by restricting the metric to this subset coincides with subspace topology for this subset.
Топологиялық қасиеттерді сақтау
Егер топологиялық кеңістікке белгілі бір топологиялық қасиет тән болса, оның барлық кіші кеңістіктерінде де сол қасиет сақталады десек, онда бұл қасиетті тұқымдық деп атаймыз. Егер тек жабық кіші кеңістіктерде ғана бұл қасиет сақталса, онда оны әлсіз тұқымдық қасиет деп атаймыз. Толық метризацияланатын кеңістіктің кез келген ашық және жабық кіші кеңістігі толық метризацияланады. Бейр кеңістігінің кез келген ашық кіші кеңістігі Бейр кеңістігі болып табылады. Ықшам кеңістіктің кез келген жабық кіші кеңістігі ықшам болады. Хаусдорф кеңістігі болу – тұқымдық қасиет. Қалыпты кеңістік болу – әлсіз тұқымдық қасиет. Толық шектелу – тұқымдық қасиет. Толық ажыратылғандық – тұқымдық қасиет. Бірінші санау және екінші санау – тұқымдық қасиеттер.