Введение
Наследованная топология
В топологии и смежных областях математики подпространство топологического пространства X — это подмножество S множества X, наделённое топологией, индуцированной из топологии X, называемой подпространственной топологией (или относительной топологией, или индуцированной топологией, или топологией следа).
Терминология
Различие между множеством и топологическим пространством часто стирается в обозначениях, для удобства, что может быть источником путаницы при первом знакомстве с этими определениями. Таким образом, если является подмножеством , а является топологическим пространством, то символы "" и "" без дополнительных уточнений часто могут использоваться для обозначения как двух подмножеств , так и как топологических пространств, связанных, как обсуждалось выше. Следовательно, фразы вроде "открытое подпространство " используются для обозначения того, что является открытым подпространством в смысле, указанном выше; то есть: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства.
Примеры
В дальнейшем, обозначает действительные числа с их обычной топологией. Подпространственная топология натуральных чисел, как подпространство , является дискретной топологией. Рациональные числа, рассматриваемые как подпространство , не имеют дискретной топологии (например, {0} не является открытым множеством, поскольку не существует открытого подмножества , пересечение которого с может дать только сингуляр {0}). Если a и b рациональны, то интервалы (a, b) и [a, b] соответственно открыты и замкнуты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x, удовлетворяющих a < x < b, является одновременно открытым и замкнутым. Множество [0, 1] как подпространство является одновременно открытым и замкнутым, в то время как как подмножество оно является только замкнутым. Как подпространство , объединение [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также являются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством. Пусть S = [0, 1) является подпространством действительной прямой. Тогда [0, 1/2) открыто в S, но не в (например, пересечение (1/2, 1/2) и S дает [0, 1/2)). Аналогично, [1/2, 1) замкнуто в S, но не в (поскольку не существует открытого подмножества , которое при пересечении с [0, 1) давало бы [1/2, 1)). S является одновременно открытым и замкнутым как подмножество самого себя, но не как подмножество .
Свойства
Субпространственная топология обладает следующим характерным свойством. Пусть – подпространство и – отображение включения. Тогда для любого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда, когда составное отображение непрерывно. Это свойство является характерным в том смысле, что его можно использовать для определения субпространственной топологии на .
We list some further properties of the subspace topology. In the following let be a subspace of
If is continuous then the restriction to is continuous. If is continuous then is continuous. The closed sets in are precisely the intersections of with closed sets in If is a subspace of then is also a subspace of with the same topology. In other words the subspace topology that inherits from is the same as the one it inherits from Suppose is an open subspace of (so ). Then a subset of is open in if and only if it is open in Suppose is a closed subspace of (so ). Then a subset of is closed in if and only if it is closed in If is a basis for then is a basis for The topology induced on a subset of a metric space by restricting the metric to this subset coincides with subspace topology for this subset.
Перечислим некоторые другие свойства субпространственной топологии. Далее пусть – подпространство . Если непрерывно, то его ограничение на непрерывно. Если непрерывно, то непрерывно. Закрытые множества в – это ровно пересечения с закрытыми множествами в . Если – подпространство , то также является подпространством с той же топологией. Иными словами, субпространственная топология, которую наследует от , такая же, как и та, которую она наследует от . Предположим, – открытое подпространство (то есть ). Тогда подмножество открыто в тогда и только тогда, когда оно открыто в . Предположим, – замкнутое подпространство (то есть ). Тогда подмножество замкнуто в тогда и только тогда, когда оно замкнуто в . Если – базис для , то – базис для . Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства ограничением метрики этим подмножеством, совпадает с субпространственной топологией для этого подмножества.
We list some further properties of the subspace topology. In the following let be a subspace of
If is continuous then the restriction to is continuous. If is continuous then is continuous. The closed sets in are precisely the intersections of with closed sets in If is a subspace of then is also a subspace of with the same topology. In other words the subspace topology that inherits from is the same as the one it inherits from Suppose is an open subspace of (so ). Then a subset of is open in if and only if it is open in Suppose is a closed subspace of (so ). Then a subset of is closed in if and only if it is closed in If is a basis for then is a basis for The topology induced on a subset of a metric space by restricting the metric to this subset coincides with subspace topology for this subset.
Сохранение топологических свойств
Если топологическое пространство, обладающее некоторым топологическим свойством, влечет за собой, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство наследственное. Если только замкнутые подпространства должны обладать этим свойством, мы называем его слабо наследственным. Каждое открытое и каждое замкнутое подпространство полнометризуемого пространства полнометризуемо. Каждое открытое подпространство пространства Бейра является пространством Бейра. Каждое замкнутое подпространство компактного пространства компактно. Свойство быть пространством Хаусдорфа наследственное. Свойство быть нормальным пространством слабо наследственное. Полная ограниченность наследственна. Полная несвязность наследственна. Первая и вторая счетные свойства наследственны.