Шектелгі шеңбердегі операторлар алгебрасы және фон Нейман алгебралары

Вон Нейман алгебрасы: шектелген операторлар алгебрасы, Гильберт кеңістігіндегі әлсіз оператор топологиясы, квант механикасы. Математикадағы маңызды концепция.

15 мин оқу

100%

Дереккөз: Von Neumann algebra — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Гильбер кеңістігіндегі шектелген операторлардың алгебрасы. Математикада, фон Нейман алгебрасы немесе W* алгебрасы – әлсіз оператор топологиясында жабық және бірлік операторды қамтитын Гильбер кеңістігіндегі шектелген операторлардың * алгебрасы. Бұл C* алгебрасының ерекше түрі. Фон-Нейман алгебрасын алғаш рет Джон фон Нейман енгізген, оның себебі – жеке операторларды, топтардың бейнелеулерін, эргодикалық теорияны және кванттық механиканы зерттеуі. Оның қос коммутант теоремасы аналитикалық анықтаманың симметриялар алгебрасы ретіндегі таза алгебралық анықтамамен сәйкес екенін көрсетеді. Фон-Нейман алгебрасының екі негізгі мысалы: нақты түзудегі дерлік шектелген өлшенетін функциялардың сақинасы – коммутативті фон-Нейман алгебрасы, оның элементтері квадратқа интегралданатын функциялардың Гильбер кеңістігінде нүктелік көбейту арқылы көбейту операторлары ретінде әрекет етеді. Гильбер кеңістігіндегі барлық шектелген операторлардың алгебрасы – фон-Нейман алгебрасы, егер Гильбер кеңістігінің өлшемдері кем дегенде болса, онда ол коммутативті емес. Фон-Нейман алгебрасы алғаш рет 1929 жылы зерттелді; ол және Фрэнсис Мюррей негізгі теорияны «операторлар сақиналары» деген бастапқы атаумен 1930 және 1940 жылдардағы бірқатар еңбектерде дамытты (; ), олардың жинағында қайта басылды. Фон-Нейман алгебрасы туралы кіріспе мәліметтер онлайн жазбаларда және кітаптарда келтірілген, , және . Теорияның энциклопедиялық сипаттамасы үш томдық еңбекте берілген. кітабында одан да күрделі тақырыптар талқыланады.

Анықтамалар

Фон-Нойман алгебрасын анықтаудың үш негізгі жолы бар. Бірінші және ең көп қолданылатын жолы – оны бірлігін қамтитын, шектелген операторлардың әлсіз жабық * алгебрасы ретінде (Хилберт кеңістігінде) анықтау. Бұл анықтамада әлсіз (оператор) топологиясын күшті, ультракүшті немесе ультра әлсіз оператор топологиялары сияқты көптеген басқа кең таралған топологиялармен алмастыруға болады. Норма топологиясында жабық * алгебралар – C* алгебралар, сондықтан кез келген Фон-Нойман алгебрасы C* алгебра болып табылады. Екінші анықтама бойынша, Фон-Нойман алгебрасы – инволюция (* операциясы) бойынша жабық шектелген операторлардың субальгебрасы, және ол өзінің қос коммутантына тең, немесе эквивалентті түрде, * бойынша жабық кейбір субальгебраның коммутантына тең. Фон-Нойманның қос коммутант теоремасы осы екі анықтаманың эквивалентті екенін көрсетеді. Бірінші екі анықтама Фон-Нойман алгебрасын белгілі бір Хилберт кеңістігінде әрекет ететін операторлар жиынтығы ретінде нақтылайды. Ол, Фон-Нойман алгебраларын C* алгебралары ретінде абстрактілі түрде де анықтауға болатынын көрсетті; яғни, Банах кеңістігі ретінде қарастырылған Фон-Нойман алгебрасы, басқа Банах кеңістігінің – предвалының дуалы болып табылады. Фон-Нойман алгебрасының предвалы изоморфизмге дейін бірегей. Кейбір авторлар алгебралар мен Хилберт кеңістігіндегі әрекеттері үшін «Фон-Нойман алгебрасы» терминін, ал абстрактілі ұғым үшін «W* алгебрасы» терминін қолданады, сондықтан Фон-Нойман алгебрасы – Хилберт кеңістігіндегі тиісті бірлік әрекетімен бірге W* алгебрасы болып табылады. Фон-Нойман алгебрасының нақты және абстрактілі анықтамалары C* алгебрасының нақты және абстрактілі анықтамаларына ұқсас, оны Хилберт кеңістігіндегі операторлардың нормасы бойынша жабық * алгебрасы ретінде немесе ||aa*||=||a|| ||a*|| шартын қанағаттандыратын Банах * алгебрасы ретінде анықтауға болады.

Терминология

Фон Нейман алгебраларының теориясындағы кейбір терминдерді түсіну қиын болуы мүмкін, сондай-ақ терминдердің көбінесе осы саладан тыс басқа мағыналары бар. Фактор – тривиальды орталығы бар фон Нейман алгебрасы, яғни тек скалярлық операторлардан тұратын орталық. Шектеулі фон Нейман алгебрасы – бұл шектеулі факторлардың тікелей интегралы (яғни, фон Нейман алгебрасының адал қалыпты іздеу күйі бар екенін білдіреді). Сол сияқты, дұрыс шексіз фон Нейман алгебралары – бұл дұрыс шексіз факторлардың тікелей интегралы. Бөлінетін Гильберт кеңістігінде әрекет ететін фон Нейман алгебрасы бөлінетін деп аталады. Мұндай алгебралар норма топологиясында сирек бөлінетіндігін ескеріңіз. Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторлар жиынымен туындаған фон Нейман алгебрасы – бұл барлық операторларды қамтитын ең кіші фон Нейман алгебрасы. Екі Гильберт кеңістігінде әрекет ететін екі фон Нейман алгебрасының тензорлық көбейтіндісі – олардың алгебралық тензорлық көбейтіндісі арқылы туындаған фон Нейман алгебрасы деп анықталады, ол Гильберт кеңістіктерінің тензорлық көбейтіндісіндегі оператор ретінде қарастырылады. Фон Нейман алгебрасындағы топологияны естен шығарып, оны (бірлік) *алгебра немесе жай ғана сақина деп қарастыруға болады. Фон Нейман алгебралары жартылай мұрагерлік: проективті модульдің кез келген шекті түрде туындаған кіші модулі өзі проективті болады. Фон Нейман алгебраларының негізгі сақиналарын аксиоматизациялауға, соның ішінде Баер *сақиналары мен AW* алгебраларын қамтуға бірнеше әрекеттер жасалды. Шектеулі фон Нейман алгебрасының байланысты операторлардың *алгебрасы – фон Нейманның тұрақты сақинасы болып табылады. (Фон Нейман алгебрасының өзі, әдетте, фон Нейман тұрақты емес.)

Коммутативті фон Нейман алгебралары

Коммутативті фон Нейман алгебралары мен өлшем кеңістіктері арасындағы байланыс, коммутативті C* алгебралары мен жергілікті компактты Гаусдорф кеңістіктері арасындағы байланысқа ұқсас. Кез келген коммутативті фон Нейман алгебрасы, қандай да бір өлшем кеңістігі (X, μ) үшін L∞(X)-қа изоморфты, ал керісінше, кез келген σ-шекті өлшем кеңістігі X үшін, * алгебра L∞(X) – фон Нейман алгебрасы болып табылады. Осы ұқсастыққа байланысты, фон Нейман алгебралары теориясы коммутативті емес өлшем теориясы деп аталады, ал C* алгебралары теориясы кейде коммутативті емес топология деп аталады.

Болжамдар

Фон Нейман алгебрасындағы E = EE = E* операторлары проекциялар деп аталады; олар дәл H кеңістігінің жабық қосалқы кеңістікке ортогональды проекциясын беретін операторлар. Егер ол M алгебрасындағы бір проекцияның бейнесі болса, онда Хилберт кеңістігінің қосалқы кеңістігі M фон Нейман алгебрасына жатады деп айтылады. Бұл M алгебрасының проекциялары мен M алгебрасына жататын қосалқы кеңістіктер арасында 1:1 сәйкестік орнатады. Практикалық тұрғыдан алғанда, бұл M алгебрасының элементтерін қолданып сипаттауға болатын немесе M алгебрасы "білетін" жабық қосалқы кеңістіктер. M алгебрасындағы кез келген оператордың бейнесінің жабылуы және M алгебрасындағы кез келген оператордың ядросы M алгебрасына жататынын көрсетуге болады. Сондай-ақ, M алгебрасына жататын кез келген қосалқы кеңістіктің M алгебрасының операторы арқылы алынған бейнесінің жабылуы да M алгебрасына жатады (Бұл нәтижелер полярлық жіктеудің салдары).

Болжамдарды салыстыру теориясы

Проекциялардың негізгі теориясы М-ге жататын екі кіші кеңістікті (Мюррей-фон Нейман) эквивалентті деп атайды, егер біріншісін фон Нейман алгебрасының элементі болып табылатын ішінара изометрия арқылы екіншісіне изоморфты түрде бейнелеуге болса (формальды емес айтуынша, егер М кіші кеңістіктердің изоморфты екенін "білсе"). Бұл проекцияларда табиғи эквиваленттік қатынасын тудырады: Е проекциясы F проекциясына эквивалентті болады, егер сәйкес кіші кеңістіктер эквивалентті болса, яғни егер H-ның ішінара изометриясы Е-нің бейнесін F-тің бейнесіне изометриялық түрде бейнелесе және фон Нейман алгебрасының элементі болса. Мұны былай да айтуға болады: Е=uu* және F=u*u, мұнда u – M-дегі бір ішінара изометрия. Осылай анықталған эквиваленттік қатынасы ~ келесі мағынада қосымша: Егер E1 ~ F1 және E2 ~ F2 болса, және E1 ⊥ E2 және F1 ⊥ F2 болса, онда E1 + E2 ~ F1 + F2. Егер ~ анықтамасында бірлік эквиваленттілігін талап етсек, яғни Е проекциясы F проекциясына эквивалентті деп айтсақ, егер u*Eu = F болса, мұнда u – бірлік оператор, онда қосымша қасиет жалпы жағдайда орындалмайды. Оператор алгебралары үшін Шрёдер-Бернштейн теоремалары Мюррей-фон Нейман эквиваленттілігі үшін жеткілікті шарт береді. M-ге жататын кіші кеңістіктер кіріктіру арқылы жартылай реттелген, бұл проекциялардың ≤ жартылай ретін тудырады. Сондай-ақ, проекциялардың эквиваленттік сыныптары жиынында проекциялардың ≤ жартылай ретімен индукцияланған табиғи жартылай рет бар. Егер M фактор болса, ≤ проекциялардың эквиваленттік сыныптары бойынша толық рет болады, ол төмендегі іздер бөлімінде сипатталған. Егер F < E (яғни F ≤ E және F ≠ E) болатын проекция болмаса, проекция (немесе M-ге жататын кіші кеңістік) E шекті проекция деп аталады. Мысалы, барлық шекті өлшемді проекциялар (немесе кіші кеңістіктер) шекті болады (өйткені Гильберт кеңістіктері арасындағы изометриялар өлшемді сақтайды), бірақ шексіз өлшемді Гильберт кеңістігіндегі сәйкестік операторы фон Нейман алгебрасында шекті емес, өйткені ол өзінің нақты кіші жиынына изометриялық түрде изоморфты. Дегенмен, шексіз өлшемді кіші кеңістіктер шекті болуы мүмкін. Ортогональды проекциялар L∞(R) -дегі индикатор функцияларының коммутативті емес аналогтары болып табылады. L∞(R) – индикатор функциялары тудыратын кіші кеңістіктің ||·||∞ жабылуы. Сол сияқты, фон Нейман алгебрасы оның проекциялары арқылы туындайды; бұл өзін-өзі қосатын операторлар үшін спектральдық теореманың салдары. Шекті фактордың проекциялары үздіксіз геометрия құрайды.

The basic theory of projections was worked out by Two subspaces belonging to M are called (Murray–von Neumann) equivalent if there is a partial isometry mapping the first isomorphically onto the other that is an element of the von Neumann algebra (informally, if M "knows" that the subspaces are isomorphic). This induces a natural equivalence relation on projections by defining E to be equivalent to F if the corresponding subspaces are equivalent, or in other words if there is a partial isometry of H that maps the image of E isometrically to the image of F and is an element of the von Neumann algebra. Another way of stating this is that E is equivalent to F if E=uu* and F=u*u for some partial isometry u in M.

The equivalence relation ~ thus defined is additive in the following sense: Suppose E1 ~ F1 and E2 ~ F2. If E1 ⊥ E2 and F1 ⊥ F2, then E1 + E2 ~ F1 + F2. Additivity would not generally hold if one were to require unitary equivalence in the definition of ~, i. e. if we say E is equivalent to F if u*Eu = F for some unitary u. The Schröder–Bernstein theorems for operator algebras gives a sufficient condition for Murray von Neumann equivalence. The subspaces belonging to M are partially ordered by inclusion, and this induces a partial order ≤ of projections. There is also a natural partial order on the set of equivalence classes of projections, induced by the partial order ≤ of projections. If M is a factor, ≤ is a total order on equivalence classes of projections, described in the section on traces below. A projection (or subspace belonging to M) E is said to be a finite projection if there is no projection F < E (meaning F ≤ E and F ≠ E) that is equivalent to E. For example, all finite dimensional projections (or subspaces) are finite (since isometries between Hilbert spaces leave the dimension fixed), but the identity operator on an infinite dimensional Hilbert space is not finite in the von Neumann algebra of all bounded operators on it, since it is isometrically isomorphic to a proper subset of itself. However it is possible for infinite dimensional subspaces to be finite. Orthogonal projections are noncommutative analogues of indicator functions in L∞(R). L∞(R) is the ||·||∞ closure of the subspace generated by the indicator functions. Similarly, a von Neumann algebra is generated by its projections; this is a consequence of the spectral theorem for self adjoint operators. The projections of a finite factor form a continuous geometry.

I типтегі факторлар

Егер E ≠ 0 минималды проекциясы болса, яғни 0 < F < E шарты орындалмайтын басқа проекция F болмаса, онда фактор I типті деп аталады. Кез келген I типті фактор белгілі бір Гильберт кеңістігіндегі барлық шектелген операторлардың фон Нейман алгебрасына изоморфты; әрбір кардинал сан үшін бір Гильберт кеңістігі болғандықтан, I типті факторлардың изоморфизм кластары дәл кардинал сандарға сәйкес келеді. Көптеген авторлар фон Нейман алгебраларын тек бөлінетін Гильберт кеңістіктерінде қарастыратындықтан, соның салдарынан, өлшемі шекті n болатын Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторларды In типті фактор деп, ал бөлінетін, өлшемі шексіз Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторларды I∞ типті фактор деп атау қалыпты жағдай.

ІІ типтегі факторлар

Егер минималды проекциялар болмаса, бірақ нөлдік емес шекті проекциялар болса, фактор II типті деп аталады. Бұл әрбір E проекциясын "екіге бөлуге" болады дегенді білдіреді, яғни Мюррей–фон Нейман эквивалентті F және G екі проекциясы бар және E = F + G теңдігі орындалады. Егер II типтегі фактордағы бірлік оператор шекті болса, фактор II1 типті деп аталады; әйтпесе, ол II∞ типті деп аталады. II типтегі ең жақсы зерттелген факторлар – II1 типті гипертақырлы фактор және II∞ типті гипертақырлы фактор, олар осылай табылды. Бұл II1 және II∞ типтерінің бірегей гипертақырлы факторлары; осы типтегі басқа да факторлардың санауға келмейтін саны бар, олар қарқынды зерттеу нысаны болып табылады. II1 типті фактордың бірегей шекті трассалық күйі бар екендігі және проекциялардың трассалары жиыны [0,1] аралығында жатады деген негізгі нәтижені дәлелдеді. II∞ типті фактордың жартылай шекті трассасы бар, масштабтауға дейін бірегей, ал проекциялардың трассалары жиыны [0,∞) аралығында жатады. Трассаны λ факторымен масштабтайтын автоморфизм болатын λ нақты сандары жиыны II∞ факторының негізгі тобы деп аталады. II1 типті фактор мен I типті шексіз фактордың тензорлық көбейтіндісі II∞ типті болады, ал керісінше, кез келген II∞ типті фактор осылай құрастырылуы мүмкін. II1 типті фактордың негізгі тобы I типті шексіз (бөлінетін) фактормен тензорлық көбейтіндісінің негізгі тобы ретінде анықталады. Көп жылдар бойы II типті факторды табу ашық мәселе болып келді, оның негізгі тобы оң нақты сандар тобынан өзгеше болар еді, бірақ Коннс Кажданның (T) қасиетіне ие саналатын дискретті топтың фон Нейман тобы алгебрасының (тривиалды өкілдік екілік кеңістікте оқшауланған), мысалы SL(3,Z), саналатын негізгі тобы бар екенін көрсетті. Кейіннен Сорин Попа негізгі топтың кейбір топтар үшін, соның ішінде Z2 мен SL(2,Z) жартылай тікелей көбейтіндісі үшін тривиальды болатынын көрсетті. II1 типті фактордың мысалы – саналатын шексіз дискретті топтың фон Нейман тобы алгебрасы, мұнда әрбір тривиальды емес конъюгация класы шексіз. Изоморфты емес фон Нейман тобы алгебралары бар осындай топтардың санауға келмейтін отбасы табылды, осылайша санауға келмейтін көптеген бөлінетін II1 типті факторлардың бар екендігі көрсетілді.

A factor is said to be of type II if there are no minimal projections but there are non zero finite projections. This implies that every projection E can be "halved" in the sense that there are two projections F and G that are Murray–von Neumann equivalent and satisfy E = F + G. If the identity operator in a type II factor is finite, the factor is said to be of type II1; otherwise, it is said to be of type II∞. The best understood factors of type II are the hyperfinite type II1 factor and the hyperfinite type II∞ factor, found by These are the unique hyperfinite factors of types II1 and II∞; there are an uncountable number of other factors of these types that are the subject of intensive study. proved the fundamental result that a factor of type II1 has a unique finite tracial state, and the set of traces of projections is [0,1]. A factor of type II∞ has a semifinite trace, unique up to rescaling, and the set of traces of projections is [0,∞]. The set of real numbers λ such that there is an automorphism rescaling the trace by a factor of λ is called the fundamental group of the type II∞ factor. The tensor product of a factor of type II1 and an infinite type I factor has type II∞, and conversely any factor of type II∞ can be constructed like this. The fundamental group of a type II1 factor is defined to be the fundamental group of its tensor product with the infinite (separable) factor of type I. For many years it was an open problem to find a type II factor whose fundamental group was not the group of positive reals, but Connes then showed that the von Neumann group algebra of a countable discrete group with Kazhdan's property (T) (the trivial representation is isolated in the dual space), such as SL(3,Z), has a countable fundamental group. Subsequently, Sorin Popa showed that the fundamental group can be trivial for certain groups, including the semidirect product of Z2 by SL(2,Z). An example of a type II1 factor is the von Neumann group algebra of a countable infinite discrete group such that every non trivial conjugacy class is infinite. found an uncountable family of such groups with non isomorphic von Neumann group algebras, thus showing the existence of uncountably many different separable type II1 factors.

III типтегі факторлар

Соңында, III типтегі факторлар — нөлден өзгеше шекті проекцияларды мүлдем қамтымайтын факторлар. Олардың алғашқы жұмысында олардың бар екендігіне шешім қабылдай алмады; алғашқы мысалдар кейіннен табылды. Бұл факторлардағы сәйкестік операторы әрқашан шексіз болғандықтан, оларды кейде III∞ типті деп атаған, бірақ жақында бұл белгіленуі IIIλ белгіленуімен алмастырылды, мұнда λ — [0,1] аралығындағы нақты сан. Нақтырақ айтқанда, егер Конн спектрі (оның модульдік тобының) 1-ге тең болса, онда фактор III0 типті болады, егер Конн спектрі 0 < λ < 1 үшін λ-ның барлық бүтін дәрежелері болса, онда тип IIIλ болады, ал егер Конн спектрі барлық оң нақты сандарды құраса, онда тип III1 болады. (Конн спектрі — оң нақты сандардың жабық кіші тобы, сондықтан бұл жалғыз мүмкіндіктер.) III типтегі факторлардың жалғыз іздері нөлге тең емес барлық оң элементтерде ∞ мәнін қабылдайды, ал кез келген нөлге тең емес екі проекция эквивалентті болады. Бір кезде III типтегі факторлар шешілмейтін объектілер деп есептелді, бірақ Томита—Такесаки теориясы жақсы құрылым теориясына алып келді. Атап айтқанда, кез келген III типтегі факторды II∞ типтегі фактор мен нақты сандардың қиылыс көбейтіндісі ретінде канондық түрде жазуға болады.

Салмағы, күйі және іздері

Салмақтар мен олардың ерекше жағдайлары – күйлер мен іздер бұл мәселенің толыққанды талқысы болып табылады. Фон Нейман алгебрасындағы ω салмағы – оң элементтер жиынынан (a*a түріндегілер) [0,∞] аралығына дейінгі сызықтық бейнелеу. Оң сызықтық функционал – ω(1) шекті салмақ (немесе ω-ның сызықтық кеңейтілуі бүкіл алгебраға). Күй – ω(1) = 1 салмағы бар салмақ. Із – барлық a үшін ω(aa*) = ω(a*a) шартын қанағаттандыратын салмақ. Іздік күй – ω(1) = 1 із. Кез келген факторда нөлдік емес проекцияның іздері нөлдік емес болады, ал проекцияның іздері шексіз болса және тек қана проекция шексіз болса ғана. Мұндай із қайта нормалауға дейін бірегей болып табылады. Бөлінетін немесе шекті факторлар үшін екі проекция тең болады, егер және тек егер олардың іздері бірдей болса. Фактордың түрін осы іздің фактордың проекцияларындағы мүмкін мәндерінен келесідей анықтауға болады: In түрі: 0, x, 2x, ..., nx, мұндағы x – оң сан (әдетте 1/n немесе 1 деп нормаланады). I∞ түрі: 0, x, 2x, ..., ∞, мұндағы x – оң сан (әдетте 1 деп нормаланады). II1 түрі: [0,x], мұндағы x – оң сан (әдетте 1 деп нормаланады). II∞ түрі: [0,∞]. III түрі: {0,∞}. Егер фон Нейман алгебрасы 1 нормалы v векторы бар Гильберт кеңістігінде әрекет етсе, онда a → (av,v) функционалы қалыпты күй болады. Бұл құрастыруды кері қайтаруға болады, соның нәтижесінде қалыпты күйден Гильберт кеңістігіндегі әрекетке өтуге болады: бұл қалыпты күйлер үшін GNS құрастыруы.

Фон Нейман алгебраларының тензорлы көбейтінділері

Екі Гилберт кеңістігінің Хилберт кеңістігі тензорлық көбейтіндісі олардың алгебралық тензорлық көбейтіндісінің толықтығы болып табылады. Фон Нейман алгебраларының тензорлық көбейтіндісін (сақина ретінде қарастырылған алгебралардың алгебралық тензорлық көбейтіндісінің аяқталуы) анықтауға болады, бұл тағы да Фон Нейман алгебрасы және сәйкес Гилберт кеңістіктерінің тензорлық көбейтіндісіне әрекет етеді. Екі шекті алгебраның тензорлық көбейтіндісі шекті, ал шексіз алгебра мен нөлдік емес алгебраның тензорлық көбейтіндісі шексіз. Екі Фон Нейман алгебрасының (I, II немесе III) тензорлық көбейтіндісінің түрі олардың типтерінің максимумы болып табылады. Тензорлық көбейтінділер үшін коммутациялық теорема мынадай түрде беріледі:

мұнда M-нің коммутантын білдіреді.

Егер наив түрде жасалса, Фон Нейман алгебраларының шексіз санының тензорлық көбейтіндісі әдетте өте үлкен, бөлінбейтін алгебра болып табылады. Оның орнына, Фон Нейман алгебраларының әрқайсысы үшін күйді таңдау керек екенін көрсетті, оны алгебралық тензорлық көбейтіндідегі күйді анықтау үшін пайдаланды, одан Гилберт кеңістігі мен (әдетте кішкентай) Фон Нейман алгебрасын алуға болады. барлық факторлар шекті матрицалық алгебралар болған жағдайда зерттеді; бұл факторлар Араки–Вудс факторлары немесе ITPFI факторлары деп аталады (ITPFI – "I типті шекті факторлардың шексіз тензорлық көбейтіндісі" дегенді білдіреді). Шексіз тензорлық көбейтіндінің түрі күйлер өзгерген сайын күрт өзгеруі мүмкін; мысалы, I2 типті шексіз факторлардың шексіз тензорлық көбейтіндісі күйлерді таңдауға байланысты кез келген түрге ие болуы мүмкін. Атап айтқанда, 0 < λ < 1 үшін IIIλ типті гиперфиниттік факторлардың Пауэрс факторлары деп аталатын санауға болмайтын отбасы табылды, I2 типті факторлардың шексіз тензорлық көбейтіндісін алып, олардың әрқайсысы мынадай күйде:

III0 типті емес барлық гиперфиниттік Фон Нейман алгебралары Араки–Вудс факторларына изоморфты, бірақ III0 типті санауға болмайтын көптеген факторлар бар.

Бимодульдер мен қосалқы факторлар

Бимодуль (немесе сәйкестік) – екі өзара коммутациялық фон Нейман алгебрасының модульдік әрекеттеріне ие Хилберт кеңістігі. Бимодульдердің құрылымы модульдерге қарағанда әлдеқайда бай. Екі фактордың кез келген бимодулі әрқашан қосалқы фактор тудырады, себебі факторлардың бірі әрқашан екіншісінің коммутантына кіреді. Бимодульдер үшін Коннс еңбегіндегі нәзік салыстырмалы тензорлық көбейтінді операциясы да бар. Вон Джонс бастама көтерген субфакторлар теориясы осы екі көзқарасты үйлестіреді. Бимодульдер дискретті топтың фон Нейман алгебрасы M үшін де маңызды. Расында, егер V – Γ тобының кез келген унитарлық бейнелеуі болса, онда Γ-ны Γ × Γ диагональдық кіші тобы ретінде қарастыра отырып, l2(Γ, V) кеңістігіндегі сәйкес индукциялық бейнелеуі, табиғи түрде, M алгебрасының екі өзара коммутациялық көшірмесі үшін бимодуль болып табылады. Мысалы, Коннс және Джонс осылайша фон Нейман алгебралары үшін Кажданның (T) қасиетінің аналогын анықтады.

Өзгертілмейтін факторлар

I типтегі фон Нейман алгебралары әрқашан қабылдамалы, бірақ басқа типтер үшін қабылдамалы емес факторлардың санауға келмейтін саны бар, оларды жіктеу немесе тіпті бір-бірінен ажырату өте қиын. Дегенмен, Воикулеску топтық өлшемдік кеңістік құрылымынан туындаған қабылдамалы емес факторлар класы, еркін топтардың фон Нейман алгебраларынан туындаған кластан бөлек екенін көрсетті. Кейін Нарутака Озава гиперболалық топтардың фон Нейман алгебралары II1 типіндегі жай факторларды тудырады, яғни II1 типіндегі факторлардың тензорлық көбейтіндісі ретінде жіктеле алмайтын факторларды, алғаш рет Лиминг Ге осы нәтижені Воикулескудің еркін энтропиясын қолдана отырып, еркін топ факторлары үшін дәлелдеген. Попаның қабылдамалы емес факторлардың негізгі топтары жөніндегі жұмысы да маңызды жетістік болып табылады. "Гиперконкреттіліктен тыс" факторлар теориясы қазіргі уақытта көптеген жаңа және күдіретті нәтижелермен қарқынды дамуда; ол геометриялық топтар теориясы мен эргодикалық теориядағы қатаңдық құбылыстарымен тығыз байланысты.

Мысалдар

σ шекті өлшем кеңістігіндегі негізінен шектелген функциялар L2 функцияларына әсер ететін коммутативті (I1 типіндегі) фон Нейман алгебрасын құрайды. Кейбір σ шекті емес өлшем кеңістіктері үшін, көбінесе патологиялық деп есептеледі, L∞(X) фон Нейман алгебрасы емес; мысалы, өлшенетін жиындардың σ алгебрасы санаусыз жиынтықтағы санаулы және санаусыз жиындар алгебрасы болуы мүмкін. Негізгі жуықтау теоремасын Капланский тығыздық теоремасы арқылы көрсетуге болады. Кез келген Гильберт кеңістігіндегі шектелген операторлар фон Нейман алгебрасын, тіпті I типіндегі факторды құрайды. Егер G тобының Гильберт кеңістігінде H бірлік өкілдігі болса, онда G-мен коммутациялайтын шектелген операторлар фон Нейман алгебрасын құрайды, оның проекциялары H кеңістігінде G инвариантының жабық ішкі кеңістіктеріне дәл сәйкес келеді. Эквивалентті субөкілдіктер эквивалентті проекцияларға сәйкес келеді. G-нің қос коммутанты да фон Нейман алгебрасы болып табылады. Дискретті G тобының фон Нейман тобының алгебрасы – H = l2(G) кеңістігіндегі G-нің H-ға оң жақтан көбейту арқылы әрекет етуімен коммутациялайтын барлық шектелген операторлардың алгебрасы. Бұл фон Нейман алгебрасының сол жақтан g ∈ G элементімен көбейтуге сәйкес келетін операторлармен туындайтынын көрсетуге болады. G-нің кез келген тривиалды емес конъюгация класы шексіз болса (мысалы, абельдік емес еркін топ), ол II1 типіндегі фактор болады, ал G шекті ішкі топтардың біріндісі болса, II1 типіндегі гиперконекті фактор болады (мысалы, шекті сандардан басқа барлық сандарды бекітетін бүтін сандардың барлық пермутацияларының тобы). Екі фон Нейман алгебрасының немесе күйлері бар санаулы санының тензорлық көбейтіндісі жоғарыда сипатталғандай фон Нейман алгебрасы болып табылады. Фон Нейман алгебрасының дискретті (немесе жалпы жергілікті компактты) топпен қиылысқан көбейтіндісін анықтауға болады, және ол фон Нейман алгебрасы болып табылады. Арнайы жағдайлар – Мюррей мен фон Нейманның және Кригер факторларының топтық өлшем кеңістігі құрылымы. Өлшенетін эквиваленттілік қатынасы мен өлшенетін группоидтың фон Нейман алгебраларын анықтауға болады. Бұл мысалдар фон Нейман тобының алгебрасын және топтық кеңістіктік құрылысты жалпылайды.

The essentially bounded functions on a σ finite measure space form a commutative (type I1) von Neumann algebra acting on the L2 functions. For certain non σ finite measure spaces, usually considered pathological, L∞(X) is not a von Neumann algebra; for example, the σ algebra of measurable sets might be the countable cocountable algebra on an uncountable set. A fundamental approximation theorem can be represented by the Kaplansky density theorem. The bounded operators on any Hilbert space form a von Neumann algebra, indeed a factor, of type I. If we have any unitary representation of a group G on a Hilbert space H then the bounded operators commuting with G form a von Neumann algebra , whose projections correspond exactly to the closed subspaces of H invariant under G. Equivalent subrepresentations correspond to equivalent projections in The double commutant of G is also a von Neumann algebra. The von Neumann group algebra of a discrete group G is the algebra of all bounded operators on H = l2(G) commuting with the action of G on H through right multiplication. One can show that this is the von Neumann algebra generated by the operators corresponding to multiplication from the left with an element g ∈ G. It is a factor (of type II1) if every non trivial conjugacy class of G is infinite (for example, a non abelian free group), and is the hyperfinite factor of type II1 if in addition G is a union of finite subgroups (for example, the group of all permutations of the integers fixing all but a finite number of elements). The tensor product of two von Neumann algebras, or of a countable number with states, is a von Neumann algebra as described in the section above. The crossed product of a von Neumann algebra by a discrete (or more generally locally compact) group can be defined, and is a von Neumann algebra. Special cases are the group measure space construction of Murray and von Neumann and Krieger factors. The von Neumann algebras of a measurable equivalence relation and a measurable groupoid can be defined. These examples generalise von Neumann group algebras and the group measure space construction.

Қолданбалар

Фон-Нойман алгебралары математиканың алуан салаларында қолданыс тапқан, мысалы, түйін теориясы, статистикалық механика, кванттық өріс теориясы, жергілікті кванттық физика, еркін ықтималдық, коммутативті емес геометрия, бейнелеу теориясы, дифференциалдық геометрия және динамикалық жүйелерде. Мысалы, C* алгебрасы ықтималдық теориясына баламалы аксиоматизацияны ұсынады. Бұл жағдайда әдіс Гельфанд-Наймарк-Сегал құрылысы деп аталады. Бұл өлшем және интеграцияға қатысты екі тәсілге ұқсас, онда жиындардың өлшемдерін бірінші құрастырып, кейін интегралды анықтауға немесе интегралды бірінші құрастырып, жиындардың өлшемдерін сипаттама функцияларының интегралы ретінде анықтауға болады.