Введение
Топологическое комплексное векторное пространство – область математики.
an area of mathematics
In mathematics, specifically in functional analysis, a C∗ algebra (pronounced "C star") is a Banach algebra together with an involution satisfying the properties of the adjoint. A particular case is that of a complex algebra A of continuous linear operators on a complex Hilbert space with two additional properties:
A is a topologically closed set in the norm topology of operators. A is closed under the operation of taking adjoints of operators. Another important class of non Hilbert C* algebras includes the algebra of complex valued continuous functions on X that vanish at infinity, where X is a locally compact Hausdorff space. C* algebras were first considered primarily for their use in quantum mechanics to model algebras of physical observables. This line of research began with Werner Heisenberg's matrix mechanics and in a more mathematically developed form with Pascual Jordan around 1933. Subsequently, John von Neumann attempted to establish a general framework for these algebras, which culminated in a series of papers on rings of operators. These papers considered a special class of C* algebras that are now known as von Neumann algebras. Around 1943, the work of Israel Gelfand and Mark Naimark yielded an abstract characterisation of C* algebras making no reference to operators on a Hilbert space. C* algebras are now an important tool in the theory of unitary representations of locally compact groups, and are also used in algebraic formulations of quantum mechanics. Another active area of research is the program to obtain classification, or to determine the extent of which classification is possible, for separable simple nuclear C* algebras.
В математике, в частности в функциональном анализе, C*-алгебра (произносится "C звезда") является алгеброй Банаха вместе с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжения. Частным случаем является комплексная алгебра A непрерывных линейных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами: A является топологически замкнутым множеством в нормовой топологии операторов. А замкнута относительно операции взятия сопряженных операторов. Другой важный класс негильбертовых C*-алгебр включает алгебру комплекснозначных непрерывных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности, где X является локально компактным хаусдорфовым пространством. C*-алгебры впервые рассматривались прежде всего для их использования в квантовой механике для моделирования алгебр физических наблюдаемых. Это направление исследований началось с матричной механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с Паскуалем Иорданом около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру для этих алгебр, что вылилось в серию статей о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана. Около 1943 года работы Израиля Гельфэнда и Марка Наймарка дали абстрактную характеристику C*-алгебр, не ссылающуюся на операторы на гильбертовом пространстве. C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Еще одной активной областью исследований является программа получения классификации или определения степени возможности классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.
an area of mathematics
In mathematics, specifically in functional analysis, a C∗ algebra (pronounced "C star") is a Banach algebra together with an involution satisfying the properties of the adjoint. A particular case is that of a complex algebra A of continuous linear operators on a complex Hilbert space with two additional properties:
A is a topologically closed set in the norm topology of operators. A is closed under the operation of taking adjoints of operators. Another important class of non Hilbert C* algebras includes the algebra of complex valued continuous functions on X that vanish at infinity, where X is a locally compact Hausdorff space. C* algebras were first considered primarily for their use in quantum mechanics to model algebras of physical observables. This line of research began with Werner Heisenberg's matrix mechanics and in a more mathematically developed form with Pascual Jordan around 1933. Subsequently, John von Neumann attempted to establish a general framework for these algebras, which culminated in a series of papers on rings of operators. These papers considered a special class of C* algebras that are now known as von Neumann algebras. Around 1943, the work of Israel Gelfand and Mark Naimark yielded an abstract characterisation of C* algebras making no reference to operators on a Hilbert space. C* algebras are now an important tool in the theory of unitary representations of locally compact groups, and are also used in algebraic formulations of quantum mechanics. Another active area of research is the program to obtain classification, or to determine the extent of which classification is possible, for separable simple nuclear C* algebras.
Некоторая история: B*-алгебры и C*-алгебры
Термин "алгебра B*" был введен К. Э. Рикартом в 1946 году для описания банаховых * -алгебр, удовлетворяющих условию:
для всех x в данной B* -алгебре. (B* условие)
Это условие автоматически подразумевает, что * -инволюция изометрична, то есть, , следовательно, , и, следовательно, B* -алгебра также является C* -алгеброй. Обратно, условие C* подразумевает условие B*. Это нетривиально и может быть доказано без использования условия . По этим причинам термин "алгебра B*" редко используется в современной терминологии и был заменен термином "C* -алгебра". Термин "C* -алгебра" был введен И. Э. Сегалем в 1947 году для описания норм-замкнутых субальгебр B(H), а именно пространства ограниченных операторов на некотором гильбертовом пространстве H. Буква "C" обозначала "замкнутое". В своей работе Сегал определяет C* -алгебру как "равномерно замкнутую, самосопряженную алгебру ограниченных операторов на гильбертовом пространстве".
Структура C*-алгебры
C*-алгебры обладают большим количеством технически удобных свойств. Некоторые из этих свойств можно установить, используя непрерывный функциональный исчисление, или свести к коммутативным C*-алгебрам. В последнем случае мы можем воспользоваться тем фактом, что структура коммутативных C*-алгебр полностью определяется теоремой Гельфанда.
Самосоединяющиеся элементы
Самосопряжённые элементы – это элементы вида. Множество элементов C*-алгебры A вида образует замкнутый выпуклый конус. Этот конус совпадает с множеством элементов вида. Элементы этого конуса называются неотрицательными (или иногда положительными, хотя эта терминология может конфликтовать с её использованием для элементов ).
The set of self adjoint elements of a C* algebra A naturally has the structure of a partially ordered vector space; the ordering is usually denoted In this ordering, a self adjoint element satisfies if and only if the spectrum of is non negative, if and only if for some Two self adjoint elements and of A satisfy if
This partially ordered subspace allows the definition of a positive linear functional on a C* algebra, which in turn is used to define the states of a C* algebra, which in turn can be used to construct the spectrum of a C* algebra using the GNS construction.
Множество самосопряжённых элементов C*-алгебры A естественным образом имеет структуру частично упорядоченного векторного пространства; упорядочение обычно обозначается . В этом упорядочении самосопряжённый элемент удовлетворяет тогда и только тогда, когда спектр неотрицателен, тогда и только тогда, когда для некоторого . Два самосопряжённых элемента и из A удовлетворяют если .
The set of self adjoint elements of a C* algebra A naturally has the structure of a partially ordered vector space; the ordering is usually denoted In this ordering, a self adjoint element satisfies if and only if the spectrum of is non negative, if and only if for some Two self adjoint elements and of A satisfy if
This partially ordered subspace allows the definition of a positive linear functional on a C* algebra, which in turn is used to define the states of a C* algebra, which in turn can be used to construct the spectrum of a C* algebra using the GNS construction.
Это частично упорядоченное подпространство позволяет определить положительный линейный функционал на C*-алгебре, который, в свою очередь, используется для определения состояний C*-алгебры, которые, в свою очередь, могут быть использованы для построения спектра C*-алгебры с помощью GNS-конструкции.
The set of self adjoint elements of a C* algebra A naturally has the structure of a partially ordered vector space; the ordering is usually denoted In this ordering, a self adjoint element satisfies if and only if the spectrum of is non negative, if and only if for some Two self adjoint elements and of A satisfy if
This partially ordered subspace allows the definition of a positive linear functional on a C* algebra, which in turn is used to define the states of a C* algebra, which in turn can be used to construct the spectrum of a C* algebra using the GNS construction.
Коэффициенты и приблизительные тождества
Любая C*-алгебра A имеет приблизительную единицу. Фактически, существует направленное семейство {eλ}λ∈I самосопряжённых элементов A, такое что
В случае, если A является сепарабельной, A имеет последовательную приблизительную единицу. В более общем случае, A будет иметь последовательную приблизительную единицу тогда и только тогда, когда A содержит строго положительный элемент, то есть положительный элемент h, такой что hAh плотно в A. Используя приблизительные единицы, можно показать, что алгебраический фактор-алгебра C*-алгебры по закрытому собственному двустороннему идеалу с естественной нормой является C*-алгеброй. Аналогично, закрытый двусторонний идеал C*-алгебры сам является C*-алгеброй.
Конечные измерения C*-алгебры
Алгебра M(n, C) из n × n матриц над C становится C*-алгеброй, если рассматривать матрицы как операторы в евклидовом пространстве Cn и использовать операторную норму ||·|| для матриц. Инволюция задается сопряжённой транспозицией. В более общем случае можно рассматривать конечные прямые суммы матричных алгебр. Фактически, все C*-алгебры, которые являются конечномерными как векторные пространства, имеют такую форму, с точностью до изоморфизма. Условие самосопряжённости означает, что конечномерные C*-алгебры полупросты, из чего следует следующая теорема типа Артина — Веддерберна:
Теорема. Конечномерная C*-алгебра A канонически изоморфна конечной прямой сумме
где min A — множество минимальных ненулевых самосопряжённых центральных проекций A. Каждая C*-алгебра Ae изоморфна (неканонически) полной матричной алгебре M(dim(e), C). Конечная семья, индексированная на min A и заданная как {dim(e)}e, называется векторным измерением A. Этот вектор однозначно определяет класс изоморфизма конечномерной C*-алгебры. На языке K-теории этот вектор является положительным конусом группы K0(A). A†-алгебра (или, более точно, †-замкнутая алгебра) — название, иногда используемое в физике для обозначения конечномерной C*-алгебры. Символ кинжала, †, используется в названии, поскольку физики обычно используют этот символ для обозначения эрмитова сопряжения и часто не обращают внимания на тонкости, связанные с бесконечным числом измерений. (Математики обычно используют звездочку, *, для обозначения эрмитова сопряжения.) A†-алгебры играют важную роль в квантовой механике и, в особенности, в квантовой информатике. Непосредственным обобщением конечномерных C*-алгебр являются приближённо конечномерные C*-алгебры.
C*-алгебры операторов
Прототипическим примером C*-алгебры является алгебра B(H) ограниченных (эквивалентно, непрерывных) линейных операторов, определенных на комплексном гильбертовом пространстве H; здесь x* обозначает сопряженный оператор оператора x : H → H. Фактически, любая C*-алгебра A изоморфна нормальному замкнутому субальгебре, замкнутой относительно сопряжения, в B(H) для некоторого подходящего гильбертова пространства H; это и является содержанием теоремы Гельфанд — Наймарка.
Коммутативные C*-алгебры
Пусть X — локально компактное пространство Хаусдорфа. Пространство комплекснозначных непрерывных функций на X, обращающихся в бесконечности (определено в статье о локальной компактности), образует коммутативную C*-алгебру относительно поточечного умножения и сложения. Инволюцией является поточечное сопряжение. Обладает мультипликативным единичным элементом тогда и только тогда, когда X компактно. Как и любая C*-алгебра, оно имеет приближенную единицу. В случае данной алгебры это очевидно: рассмотрим направленное множество компактных подмножеств X, и для каждого компактного множества K пусть f_K будет функцией с компактным носителем, тождественно равной 1 на K. Такие функции существуют по теореме Тице о продолжении, которая применима к локально компактным пространствам Хаусдорфа. Любая такая последовательность функций (f_K) является приближенной единицей. Представление Гельфанда утверждает, что каждая коммутативная C*-алгебра *изоморфна алгебре C(Y), где Y — пространство характеров, снабженное слабой* топологией. Более того, если A изоморфна C(Y) как C*-алгебры, то следует, что X и Y гомеоморфны. Эта характеристика является одной из мотиваций для программ по некомутативной топологии и некомутативной геометрии.
C*-обводящая алгебра
При наличии банаховой * -алгебры A с приблизительной единицей, существует единственная (с точностью до C* -изоморфизма) C* -алгебра E(A) и * -морфизм π из A в E(A), являющаяся универсальной, то есть любой другой непрерывный * -морфизм π′: A → B однозначно факторизуется через π. Алгебра E(A) называется C* -обволакивающей алгеброй банаховой * -алгебры A. Особое значение имеет C* -алгебра локально компактной группы G. Она определяется как обволакивающая C* -алгебра групповой алгебры G. C* -алгебра G предоставляет контекст для общего гармонического анализа G в случае, когда G неабелева. В частности, двойственное пространство локально компактной группы определяется как пространство примитивных идеалов групповой C* -алгебры. См. спектр C* -алгебры.
Алгебры фон Неймана
Алгебры фон Неймана, известные как W*-алгебры до 1960-х годов, являются особым видом C*-алгебры. Они должны быть замкнуты в слабой операторной топологии, которая слабее, чем топология нормы. Теорема Шермана — Такеды утверждает, что любая C*-алгебра имеет универсальную оболочку W*-алгебры, через которую факторизуется любой гомоморфизм в W*-алгебру.
Тип для C*-алгебры
Алгебра C* A является алгеброй типа I тогда и только тогда, когда для всех невырожденных представлений π алгебры A алгебра фон Неймана π(A) (то есть бикоммутант π(A)) является алгеброй фон Неймана типа I. Фактически, достаточно рассматривать только фактор-представления, то есть представления π, для которых π(A) является фактором. Локально компактная группа называется группой типа I, если и только если ее групповая C*-алгебра является алгеброй типа I. Однако, если C*-алгебра имеет представления, не являющиеся типа I, то, согласно результатам Джеймса Глимма, она также имеет представления типа II и типа III. Таким образом, для C*-алгебр и локально компактных групп имеет смысл говорить только о свойствах типа I и не типа I.
C*-алгебры и квантовая теория поля
В квантовой механике физическая система обычно описывается C*-алгеброй A с единичным элементом; самосопряженные элементы A (элементы x с x* = x) рассматриваются как наблюдаемые, то есть измеримые величины системы. Состояние системы определяется как положительный функционал на A (C-линейное отображение φ : A → C, такое что φ(u*u) ≥ 0 для всех u ∈ A) и φ(1) = 1. Ожидаемое значение наблюдаемой x, если система находится в состоянии φ, равно φ(x). Этот подход с использованием C*-алгебр применяется в аксиоматизации Хаага — Кастлера локальной квантовой теории поля, где каждому открытому множеству пространства-времени Минковского сопоставляется C*-алгебра.