Геометриялық топтар теориясы

Кіріспе

Геометриялық топтар теориясы – математиканың шекті түрде жасалған топтарды зерттеуге арналған саласы. Геометриялық топтар теориясы мұндай топтардың алгебралық қасиеттері мен олардың әрекет ете алатын кеңістіктердің топологиялық және геометриялық қасиеттері арасындағы байланыстарды зерттеу арқылы шекті түрде жасалған топтарды зерттейді (яғни, сұрақ туындаған топтар кейбір кеңістіктердің геометриялық симметриялары немесе үздіксіз түрлендірулері ретінде көрінеді). Геометриялық топтар теориясындағы тағы бір маңызды идея – шекті түрде жасалған топтарды геометриялық объектілер ретінде қарастыру. Бұл әдетте топтардың Кейли графиктерін зерттеу арқылы жасалады, олар график құрылымынан басқа, сонымен аталған сөз метрикасымен берілген метрикалық кеңістіктің құрылымымен жабдықталған. Геометриялық топтар теориясы, жекелеген сала ретінде, салыстырмалы түрде жаңа, және 1980 жылдардың соңы мен 1990 жылдардың басында математиканың анықталған саласына айналды. Геометриялық топтар теориясы төмен өлшемді топологиямен, гиперболалық геометриямен, алгебралық топологиямен, есептеулік топтар теориясымен және дифференциалдық геометриямен тығыз байланыста. Сонымен қатар, күрделілік теориясы, математикалық логика, Лай топтары мен олардың дискретті кіші топтарын зерттеу, динамикалық жүйелер, ықтималдық теориясы, К-теория және математиканың басқа да салаларымен маңызды байланыстар бар. Пьер де ла Харп өзінің «Геометриялық топтар теориясы бойынша тақырыптар» кітабының кіріспесінде былай деп жазды: «Менің жеке сенімімнің бірі – симметриялар мен топтарға қызығушылық – өмірдің шектеулеріне байланысты туындайтын көңілсіздіктермен күресудің бір жолы: біз көре алатын нәрседен гөрі көбірек нәрсені тануға мүмкіндік беретін симметрияларды тануды ұнатамыз. Осы мағынада геометриялық топтар теориясын зерттеу – мәдениеттің бір бөлігі және Жорж де Рамның математиканы оқыту, Малармені оқу немесе досына сәлем беру сияқты көптеген жағдайларда қолданған бірнеше нәрселерін еске салады».

Тарих

Геометриялық топтар теориясы негізінен дискретті топтардың қасиеттерін топтық презентацияларды талдау арқылы зерттейтін комбинаторлық топтар теориясынан өркендеді. Бұл саланы алғаш рет 1880-жылдардың басында Феликс Клейннің шәкірті Уолтер фон Дайк жүйелі түрде зерттеді, ал оның алғашқы нысаны Уильям Роуэн Гамильтонның 1856 жылғы икозиандық есептеуінде кездеседі, онда ол икосаэдрлік симметрия тобын он екі қырлының қабырғалар графигі арқылы зерттеді. Қазіргі уақытта комбинаторлық топтар теориясы геометриялық топтар теориясының құрамына көбінесе еніп кеткен. Сонымен қатар, "геометриялық топтар теориясы" термині жиі дискретті топтарды зерттеуді ықтималдық, өлшемдік теориялық, арифметикалық, талдау және дәстүрлі комбинаторлық топтар теориясының құралдарынан тыс жататын басқа да тәсілдерді қамту үшін қолданылатын болды. XX ғасырдың бірінші жартысында Макс Дехн, Якоб Нильсен, Курт Рейдемайстер және Отто Шрайер, Дж. Х. К. Уайтхед, Эгберт ван Кампен және тағы басқалардың пионерлік жұмыстары дискретті топтарды зерттеуге топологиялық және геометриялық идеяларды енгізді. Геометриялық топтар теориясының басқа да көрекейлері кіші жою теориясы және Басс-Серр теориясы. Кіші жою теориясын 1960 жылдары Мартин Гриндлингер енгізді, ал Роджер Линдон мен Пол Шупп оны одан әрі дамытты. Ол шекті топтардың презентацияларына сәйкес келетін ван Кампен диаграммаларын комбинаторлық қисықтық шарттары арқылы зерттейді және мұндай талдаудан топтардың алгебралық және алгоритмдік қасиеттерін шығарады. 1977 жылы Серрдің кітабында ұсынылған Басс-Серр теориясы симплициалдық ағаштардағы топтық әрекеттерді зерттеу арқылы топтар туралы құрылымдық алгебралық ақпаратты алады. Геометриялық топтар теориясының сыртқы көрекейлері Ли топтарындағы торларды зерттеуді, әсіресе Мостоудың қатаңдық теоремасын, Клейн тобын зерттеуді және 1970 жылдары мен 1980 жылдардың басында Уильям Терстонның Геометрияландыру бағдарламасымен ынталандырылған төмен өлшемді топология мен гиперболалық геометриядағы жетістіктерді қамтиды. Геометриялық топтар теориясының математиканың жеке саласы ретінде қалыптасуы әдетте 1980-жылдардың соңы мен 1990-жылдардың басына жатады. Оны 1987 жылы Михаил Громовтың "Гиперболалық топтар" монографиясы ынталандырды, ол гиперболалық топ ұғымын енгізді (сонымен қатар сөздік гиперболалық немесе Громов гиперболалық немесе теріс қисықтық топ деп те аталады), ол шекті түрде құрылған топтың үлкен ауқымды теріс қисықтығына ие болу идеясын бейнелейді, және оның кейінгі монографиясы Шеңберсіз топтардың асимптотикалық инварианттары, ол Громовтың дискретті топтарды квазиизометрияға дейін түсіну бағдарламасын сипаттайды. Громовтың жұмысы дискретті топтарды зерттеуге трансформациялық әсер етті және "геометриялық топтар теориясы" тіркесі көп ұзамай пайда бола бастады. (мысалы, қараңыз).

Geometric group theory grew out of combinatorial group theory that largely studied properties of discrete groups via analyzing group presentations, which describe groups as quotients of free groups; this field was first systematically studied by Walther von Dyck, student of Felix Klein, in the early 1880s, while an early form is found in the 1856 icosian calculus of William Rowan Hamilton, where he studied the icosahedral symmetry group via the edge graph of the dodecahedron. Currently combinatorial group theory as an area is largely subsumed by geometric group theory. Moreover, the term "geometric group theory" came to often include studying discrete groups using probabilistic, measure theoretic, arithmetic, analytic and other approaches that lie outside of the traditional combinatorial group theory arsenal. In the first half of the 20th century, pioneering work of Max Dehn, Jakob Nielsen, Kurt Reidemeister and Otto Schreier, J. H. C. Whitehead, Egbert van Kampen, amongst others, introduced some topological and geometric ideas into the study of discrete groups. Other precursors of geometric group theory include small cancellation theory and Bass–Serre theory. Small cancellation theory was introduced by Martin Grindlinger in the 1960s and further developed by Roger Lyndon and Paul Schupp. It studies van Kampen diagrams, corresponding to finite group presentations, via combinatorial curvature conditions and derives algebraic and algorithmic properties of groups from such analysis. Bass–Serre theory, introduced in the 1977 book of Serre, derives structural algebraic information about groups by studying group actions on simplicial trees. External precursors of geometric group theory include the study of lattices in Lie groups, especially Mostow's rigidity theorem, the study of Kleinian groups, and the progress achieved in low dimensional topology and hyperbolic geometry in the 1970s and early 1980s, spurred, in particular, by William Thurston's Geometrization program. The emergence of geometric group theory as a distinct area of mathematics is usually traced to the late 1980s and early 1990s. It was spurred by the 1987 monograph of Mikhail Gromov "Hyperbolic groups" that introduced the notion of a hyperbolic group (also known as word hyperbolic or Gromov hyperbolic or negatively curved group), which captures the idea of a finitely generated group having large scale negative curvature, and by his subsequent monograph Asymptotic Invariants of Infinite Groups, that outlined Gromov's program of understanding discrete groups up to quasi isometry. The work of Gromov had a transformative effect on the study of discrete groups and the phrase "geometric group theory" started appearing soon afterwards. (see e. g.).

Кітаптар мен монографиялар

Бұл мәтіндер геометриялық топтар теориясы және оған қатысты тақырыптарды қамтиды.