Введение

Область математики, посвященная изучению конечно сгенерированных групп. Геометрическая теория групп – это область математики, посвященная изучению конечно сгенерированных групп посредством исследования связей между алгебраическими свойствами таких групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы могут действовать нетривиально (то есть, когда рассматриваемые группы реализуются как геометрические симметрии или непрерывные преобразования некоторых пространств). Другая важная идея в геометрической теории групп – рассматривать сами конечно сгенерированные группы как геометрические объекты. Обычно это делается путем изучения графов Кейли, которые, помимо структуры графа, наделены структурой метрического пространства, задаваемой так называемой метрикой слова. Геометрическая теория групп, как самостоятельная область, относительно нова и оформилась как четко выделенная ветвь математики в конце 1980-х – начале 1990-х годов. Геометрическая теория групп тесно взаимодействует с низкоразмерной топологией, гиперболической геометрией, алгебраической топологией, вычислительной теорией групп и дифференциальной геометрией. Существуют также значительные связи с теорией сложности, математической логикой, изучением групп Ли и их дискретных подгрупп, динамическими системами, теорией вероятностей, K-теорией и другими областями математики. Во введении к своей книге «Темы в геометрической теории групп» Пьер де ла Харп писал: «Одно из моих личных убеждений состоит в том, что увлечение симметриями и группами – это один из способов справиться с разочарованиями, вызванными ограничениями жизни: нам нравится распознавать симметрии, которые позволяют нам видеть больше, чем доступно непосредственному восприятию. В этом смысле изучение геометрической теории групп является частью культуры и напоминает мне о многих занятиях Жоржа де Рама, таких как преподавание математики, декламация стихов Маларме или приветствие друга».

История

Геометрическая теория групп выросла из комбинаторной теории групп, которая в значительной степени изучала свойства дискретных групп посредством анализа групповых представлений, описывающих группы как факторгруппы свободных групп; эта область впервые была систематически изучена Вальтером фон Диком, учеником Феликса Клейна, в начале 1880-х годов, при этом ранняя форма встречается в икосианском исчислении Уильяма Роуэна Гамильтона 1856 года, где он исследовал икосаэдрическую группу симметрии через реберный граф додекаэдра. В настоящее время комбинаторная теория групп как область в значительной степени включена в геометрическую теорию групп. Более того, термин «геометрическая теория групп» стал часто охватывать изучение дискретных групп с использованием вероятностных, интегральных, арифметических, аналитических и других подходов, выходящих за рамки традиционного арсенала комбинаторной теории групп. В первой половине XX века пионерские работы Макса Дена, Якоба Нильсена, Курта Рейдемайстера и Отто Шрайера, Дж. Х. К. Уайтхеда, Эгберта ван Кампена и других внесли некоторые топологические и геометрические идеи в изучение дискретных групп. К другим предшественникам геометрической теории групп относятся теория малых отмен и теория Басса — Серре. Теория малых отмен была введена Мартином Гриндлингером в 1960-х годах и далее развита Роджером Линдоном и Полом Шуппом. Она изучает диаграммы ван Кампена, соответствующие конечным групповым представлениям, посредством комбинаторных условий на кривизну и выводит алгебраические и алгоритмические свойства групп из такого анализа. Теория Басса — Серре, представленная в книге Серре 1977 года, позволяет получать структурную алгебраическую информацию о группах, изучая действия групп на симплициальных деревьях. К внешним предшественникам геометрической теории групп относятся изучение решеток в группах Ли, особенно теорема о жесткости Мостова, изучение групп Клейна и прогресс, достигнутый в низкоразмерной топологии и гиперболической геометрии в 1970-х и начале 1980-х годов, стимулированный, в частности, программой геометризации Уильяма Терстона. Появление геометрической теории групп как самостоятельной области математики обычно относят к концу 1980-х — началу 1990-х годов. Ему способствовала монография Михаила Громова 1987 года «Гиперболические группы», в которой было введено понятие гиперболической группы (также известной как слово-гиперболической, гиперболической по Громову или группе с отрицательной кривизной), отражающее идею конечно порожденной группы с большой отрицательной кривизной, и его последующая монография «Асимптотические инварианты бесконечных групп», в которой была изложена программа Громова по пониманию дискретных групп с точностью до квазиизометрии. Работа Громова оказала преобразующее влияние на изучение дискретных групп, и вскоре после этого фраза «геометрическая теория групп» начала появляться. (см., например).

Книги и монографии

Эти тексты посвящены геометрической теории групп и смежным областям.