Нүктелік топтардағы симметрияны белгілеу нотациясы

Кіріспе

Нүктелік топтардағы симметрияны көрсету үшін белгілеу

Шенфлиз (немесе Шёнфлиз) белгісі – неміс математигі Артур Мориц Шёнфлиздің есімімен аталған және үш өлшемдегі нүктелік топтарды көрсету үшін негізгі қолданылатын белгі. Молекуланың симметриясын сипаттау үшін бір нүктелік топтың өзі жеткілікті болғандықтан, бұл белгі көбінесе қолжетімді және спектроскопияда кеңінен қолданылады. Дегенмен, кристаллографияда қосымша трансляциялық симметрия бар, сондықтан нүктелік топтар кристалдардың толық симметриясын сипаттау үшін жеткіліксіз, оның орнына толық кеңістіктік топтар қолданылады. Толық кеңістіктік топтарды атау әдетте басқа кең таралған конвенцияны – Герман-Моген белгісін, сондай-ақ халықаралық белгіні қалайды. Шёнфлиз белгісі үстін сызықшасыз (суперскриптсіз) таза нүктелік топты көрсетеді, бірақ жеке кеңістіктік топтарды нақтылау үшін үстін сызықшалар (суперскрипттер) қосылуы мүмкін. Алайда, кеңістіктік топтар үшін негізгі симметрия элементтерімен байланыс Герман-Моген белгісінде әлдеқайда анық, сондықтан кеңістіктік топтар үшін осы белгі әдетте артықшылыққа ие.

Симметрия элементтері

Симметрия элементтері инверсия орталықтары үшін i, дұрыс айналу осьтері үшін C, айна жазықтықтары үшін σ және дұрыс емес айналу осьтері (айналма рефлексия осьтері) үшін S арқылы белгіленеді. C және S әдетте айналудың мүмкін болатын ретін (абстракті түрде n деп белгіленеді) көрсететін төменгі индекстегі санмен жазылады. Келісім бойынша, ең жоғары ретті дұрыс айналу осі негізгі ось ретінде анықталады. Барлық басқа симметрия элементтері оған қатысты сипатталады. Негізгі осьті қамтитын тік айна жазықтығы σv деп белгіленеді; негізгі оське перпендикуляр көлденең айна жазықтығы σh деп белгіленеді.

Нысандар топтары

Үш өлшемде нүктелік топтардың саны шексіз, бірақ олардың барлығын бірнеше отбасыларға жіктеуге болады. Cn (циклді үшін) n есе айналу осіне ие. Cnh – айналу осіне (горизонталь жазықтыққа) перпендикуляр айна (шағылыс) жазықтығының қосылуымен Cn. Cnv – айналу осі бар n айна жазықтығының (тік жазықтықтың) қосылуымен Cn. Cs тек айна жазықтығы бар (Spiegel үшін, неміс тілінде айна) және басқа симметрия элементтері жоқ топты білдіреді. Sn (Spiegel, неміс тілінде айна) тек n рет айналудың шағылысу осіне ие. Индекс, n, жұп болуы керек, өйткені ол тақ болғанда n есе айналудың шағылысу осі n есе айналу осі мен перпендикуляр жазықтықтың комбинациясына тең, сондықтан Sn = Cnh тақ n үшін. Cni тек ротоинверсиялық оське ие. Бұл белгі сирек қолданылады, өйткені кез келген ротоинверсиялық ось бұрылыс-шағылыс осі ретінде білдірілуі мүмкін: тақ n үшін Cni = S2n және C2ni = Sn = Cnh, ал жұп n үшін C2ni = S2n. Тек Ci (C1i деген мағынаны білдіреді) белгісі ғана жиі қолданылады, ал кейбір көздер C3i, C5i және т.б. деп жазады. Dn (диэдрлік немесе екі жақты) n есе айналу осімен қоса n екі есе осіне перпендикуляр. Dnh қосымшада көлденең айна жазықтығына және, нәтижесінде, әрқайсысы n бүктелу осі мен екі осі бар n тік айна жазықтығына ие. Dnd, Dn элементтерінен басқа, екі осінің (диагональды жазықтықтардың) арасында өтетін n тік айна жазықтығына ие. T (хиральды тетраэдрлік топ) тетраэдрдің айналу осьтерімен (үш 2 еселік ось және төрт 3 еселік ось) сәйкес келеді. Td диагональдық айна жазықтығын қамтиды (әр диагональдық жазықтықта тек бір екі еселік ось бар және D2d-дегідей басқа екі еселік осьтің арасында өтеді). Диагональдық жазықтықты қосудың нәтижесінде S4 үш дұрыс емес айналу операциялары пайда болады. Th үш көлденең айна жазықтығын қамтиды. Әрбір жазықтықта екі екілік ось бар және ол үшінші екілік оське перпендикуляр, нәтижесінде инверсия орталығы пайда болады. O (хиральдық октаэдрлік топ) октаэдр немесе кубтың айналу осьтері бар (үш 4 еселік ось, төрт 3 еселік ось және алты диагональды 2 еселік ось). Oh көлденең айна жазықтығын және, нәтижесінде, тік айна жазықтығын қамтиды. Сонымен қатар, инверсиялық орталық және дұрыс емес айналу операциялары бар. I (хиральды икосаэдрлік топ) топтың икосаэдр немесе додекаэдрдің айналу осьтері бар екенін көрсетеді (алты 5 еселік ось, он 3 еселік ось және 15 2 еселік ось). Ih көлденең айна жазықтығын қамтиды және инверсия орталығын және дұрыс емес айналу операцияларын қамтиды. Жоғары реттік бірден артық (3-реттік немесе одан да көп) осьтері жоқ барлық топтар төмендегі кестеде көрсетілгендей орналастырылуы мүмкін; қызыл түстегі символдар сирек қолданылады. n = 12345678 ∞ Cn C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C∞ Cnv C1v = C1h C2v C3v C4v C5v C6v C7v C8v C∞v Cnh C1h = Cs C2h C3h C4h C5h C6h C7h C8h C∞h Sn S1 = Cs S2 = Ci S3 = C3h S4 S5 = C5h S6 S7 = C7h S8 S∞ = C∞h Cni (артық) C1i = Ci C2i = Cs C3i = S6 C4i = S4 C5i = S10 C6i = C3h C7i = S14 C8i = S8 C∞i = C∞h Dn D1 = C2 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D∞ Dnh D1h = C2v D2h D3h D4h D5h D6h D7h D8h D∞h Dnd D1d = C2h D2d D3d D4d D5d D6d D7d D8d D∞d = D∞h

In three dimensions, there are an infinite number of point groups, but all of them can be classified by several families. Cn (for cyclic) has an n fold rotation axis. Cnh is Cn with the addition of a mirror (reflection) plane perpendicular to the axis of rotation (horizontal plane). Cnv is Cn with the addition of n mirror planes containing the axis of rotation (vertical planes). Cs denotes a group with only mirror plane (for Spiegel, German for mirror) and no other symmetry elements. Sn (for Spiegel, German for mirror) contains only a n fold rotation reflection axis. The index, n, should be even because when it is odd an n fold rotation reflection axis is equivalent to a combination of an n fold rotation axis and a perpendicular plane, hence Sn = Cnh for odd n.
Cni has only a rotoinversion axis. This notation is rarely used because any rotoinversion axis can be expressed instead as rotation reflection axis: For odd n, Cni = S2n and C2ni = Sn = Cnh, and for even n, C2ni = S2n. Only the notation Ci (meaning C1i) is commonly used, and some sources write C3i, C5i etc. Dn (for dihedral, or two sided) has an n fold rotation axis plus n twofold axes perpendicular to that axis. Dnh has, in addition, a horizontal mirror plane and, as a consequence, also n vertical mirror planes each containing the n fold axis and one of the twofold axes. Dnd has, in addition to the elements of Dn, n vertical mirror planes which pass between twofold axes (diagonal planes). T (the chiral tetrahedral group) has the rotation axes of a tetrahedron (three 2 fold axes and four 3 fold axes). Td includes diagonal mirror planes (each diagonal plane contains only one twofold axis and passes between two other twofold axes, as in D2d). This addition of diagonal planes results in three improper rotation operations S4. Th includes three horizontal mirror planes. Each plane contains two twofold axes and is perpendicular to the third twofold axis, which results in inversion center i.
O (the chiral octahedral group) has the rotation axes of an octahedron or cube (three 4 fold axes, four 3 fold axes, and six diagonal 2 fold axes). Oh includes horizontal mirror planes and, as a consequence, vertical mirror planes. It contains also inversion center and improper rotation operations. I (the chiral icosahedral group) indicates that the group has the rotation axes of an icosahedron or dodecahedron (six 5 fold axes, ten 3 fold axes, and 15 2 fold axes). Ih includes horizontal mirror planes and contains also inversion center and improper rotation operations. All groups that do not contain more than one higher order axis (order 3 or more) can be arranged as shown in a table below; symbols in red are rarely used. n = 12345678 ∞ Cn C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C∞ Cnv C1v = C1h C2v C3v C4v C5v C6v C7v C8v C∞v Cnh C1h = Cs C2h C3h C4h C5h C6h C7h C8h C∞h Sn S1 = Cs S2 = Ci S3 = C3h S4 S5 = C5h S6 S7 = C7h S8 S∞ = C∞h Cni (redundant) C1i = Ci C2i = Cs C3i = S6 C4i = S4 C5i = S10 C6i = C3h C7i = S14 C8i = S8 C∞i = C∞h Dn D1 = C2 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D∞ Dnh D1h = C2v D2h D3h D4h D5h D6h D7h D8h D∞h Dnd D1d = C2h D2d D3d D4d D5d D6d D7d D8d D∞d = D∞h

Кристаллографияда, кристаллографиялық шектеу теоремасына сәйкес, n 1, 2, 3, 4 немесе 6 мәндерімен шектеледі. Кристаллографиялық емес топтар сұр түсті фонмен көрсетілген. D4d және D6d-ге де тыйым салынады, өйткені олар n = 8 және 12 сәйкесінше дұрыс емес айналымдарды қамтиды. Кестедегі 27 нүктелік топтар, сонымен қатар T, Td, Th, O және Oh 32 кристаллографиялық нүктелік топты құрайды. n = ∞ топтар шекті топтар немесе Кюри топтары деп аталады. Кестенің ішінде көрсетілмеген тағы екі шекті топ бар: K (Кугель үшін, неміс тілінде шар, сфера), 3 өлшемді кеңістіктегі барлық айналулар тобы; және Kh, барлық айналулар мен шағылыстар тобы. Математика мен теориялық физикада олар SO(3) және O(3) символдарымен үш өлшемді кеңістіктегі арнайы ортогональды топ және ортогональды топ ретінде белгілі.

Ғарыш топтары

Берілген нүктелік топтағы кеңістіктік топтар 1, 2, 3 (олардың халықаралық нөмірімен бірдей ретпен) нөмірленеді және бұл нөмір тиісті нүктелік топтың Шенфлиз символына үстін сызып жазу ретінде қосылады. Мысалы, нүктелік тобы C2 болып табылатын 3-тен 5-ке дейінгі топтардың Шенфлиз символдары C, C, C болады. Нүктелік топтарда Шенфлиз символы топтың симметрия элементтерін нақты анықтайды, ал кеңістіктік топтың қосымша үстін сызып жазуы кеңістіктік топтың трансляциялық симметриясы (тор орталығы, осьтер мен жазықтықтардың трансляциялық компоненттері) туралы ешқандай ақпаратты қамтымайды, сондықтан Шенфлиз және Герман-Маугюин нотациясы арасындағы сәйкестік туралы ақпаратты қамтитын арнайы кестелерге жүгіну қажет. Мұндай кесте кеңістік топтары тізімі бетінде келтірілген.