Введение

Нотация для представления симметрии в точечных группах

Нотация Шёнфлайса (или Шёнфлайса), названная в честь немецкого математика Артура Морица Шёнфлайса, является нотацией, используемой преимущественно для обозначения точечных групп в трех измерениях. Поскольку одной точечной группы достаточно для полного описания симметрии молекулы, эта нотация часто бывает достаточной и широко применяется в спектроскопии. Однако в кристаллографии присутствует дополнительная трансляционная симметрия, и точечных групп недостаточно для описания полной симметрии кристаллов, поэтому обычно используется полная пространственная группа. Наименование полных пространственных групп обычно следует другой общепринятой системе – нотации Германа-Могена, также известной как международная нотация. Хотя нотация Шёнфлайса без верхних индексов является чисто точечной группой, верхние индексы могут быть добавлены для более точного указания отдельных пространственных групп. Тем не менее, для пространственных групп связь с лежащими в основе элементами симметрии гораздо яснее выражена в нотации Германа-Могена, поэтому последняя нотация обычно предпочтительнее для описания пространственных групп.

Элементы симметрии

Элементы симметрии обозначаются i для центров инверсии, C для осей собственного вращения, σ для плоскостей отражения и S для осей несобственного вращения (осей вращения-отражения). За C и S обычно следует индекс (обозначаемый абстрактно как n), указывающий порядок возможного вращения. По соглашению, ось собственного вращения наивысшего порядка определяется как главная ось. Все остальные элементы симметрии описываются относительно неё. Вертикальная плоскость отражения (содержащая главную ось) обозначается σv; горизонтальная плоскость отражения (перпендикулярная главной оси) обозначается σh.

Точечные группы

В трех измерениях существует бесконечное количество точечных групп, но все они могут быть классифицированы по нескольким семействам. Cn (для циклической) имеет n-кратную ось вращения. Cnh – это Cn с добавлением зеркальной (отражающей) плоскости, перпендикулярной оси вращения (горизонтальной плоскости). Cnv – это Cn с добавлением n зеркальных плоскостей, содержащих ось вращения (вертикальные плоскости). Cs обозначает группу, имеющую только зеркальную плоскость (от Spiegel, немецкое слово для зеркала) и никаких других элементов симметрии. Sn (от Spiegel, немецкое слово для зеркала) содержит только n-кратную ось вращения-отражения. Индекс n должен быть четным, поскольку при нечетном значении n-кратная ось вращения-отражения эквивалентна комбинации n-кратной оси вращения и перпендикулярной плоскости, следовательно, Sn = Cnh для нечетного n. Cni имеет только ось ротоинверсии. Эта нотация используется редко, поскольку любую ось ротоинверсии можно выразить как ось вращения-отражения: для нечетного n, Cni = S2n и C2ni = Sn = Cnh, а для четного n, C2ni = S2n. Обычно используется только обозначение Ci (что означает C1i), а некоторые источники пишут C3i, C5i и т.д. Dn (для диэдрической, или двусторонней) имеет n-кратную ось вращения плюс n двукратных осей, перпендикулярных этой оси. Dnh имеет, кроме того, горизонтальную зеркальную плоскость и, как следствие, также n вертикальных зеркальных плоскостей, каждая из которых содержит n-кратную ось и одну из двукратных осей. Dnd имеет, помимо элементов Dn, n вертикальных зеркальных плоскостей, проходящих между двукратными осями (диагональные плоскости). T (хиральная тетраэдрическая группа) имеет оси вращения тетраэдра (три двукратные оси и четыре трехкратные оси). Td включает диагональные зеркальные плоскости (каждая диагональная плоскость содержит только одну двукратную ось и проходит между двумя другими двукратными осями, как в D2d). Это добавление диагональных плоскостей приводит к трем операциям несобственного вращения S4. Th включает три горизонтальные зеркальные плоскости. Каждая плоскость содержит две двукратные оси и перпендикулярна третьей двукратной оси, что приводит к центру инверсии i. O (хиральная октаэдрическая группа) имеет оси вращения октаэдра или куба (три четырехкратные оси, четыре трехкратные оси и шесть диагональных двукратных осей). Oh включает горизонтальные зеркальные плоскости и, как следствие, вертикальные зеркальные плоскости. Она также содержит центр инверсии и операции несобственного вращения. I (хиральная икосаэдрическая группа) указывает, что группа имеет оси вращения икосаэдра или додекаэдра (шесть пятикратных осей, десять трехкратных осей и 15 двукратных осей). Ih включает горизонтальные зеркальные плоскости и содержит также центр инверсии и операции несобственного вращения. Все группы, не содержащие более одной оси высшего порядка (порядка 3 или более), могут быть расположены, как показано в таблице ниже; символы красным цветом используются редко. n = 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ Cn C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C∞ Cnv C1v = C1h C2v C3v C4v C5v C6v C7v C8v C∞v Cnh C1h = Cs C2h C3h C4h C5h C6h C7h C8h C∞h Sn S1 = Cs S2 = Ci S3 = C3h S4 S5 = C5h S6 S7 = C7h S8 S∞ = C∞h Cni (избыточно) C1i = Ci C2i = Cs C3i = S6 C4i = S4 C5i = S10 C6i = C3h C7i = S14 C8i = S8 C∞i = C∞h Dn D1 = C2 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D∞ Dnh D1h = C2v D2h D3h D4h D5h D6h D7h D8h D∞h Dnd D1d = C2h D2d D3d D4d D5d D6d D7d D8d D∞d = D∞h В кристаллографии, в силу теоремы о кристаллографических ограничениях, n ограничено значениями 1, 2, 3, 4 или 6. Некристаллографические группы показаны серым цветом. D4d и D6d также запрещены, поскольку они содержат несобственные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T, Td, Th, O и Oh составляют 32 кристаллографические точечные группы. Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри. Есть еще две предельные группы, не перечисленные в таблице: K (от Kugel, немецкое слово для шара, сферы), группа всех вращений в трехмерном пространстве; и Kh, группа всех вращений и отражений. В математике и теоретической физике они известны соответственно как специальная ортогональная группа и ортогональная группа в трехмерном пространстве, с символами SO(3) и O(3).

Космические группы

Пространственные группы с данной точечной группой нумеруются 1, 2, 3 (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется в виде верхнего индекса к символу Шёнфлиса для соответствующей точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, чья точечная группа – C2, имеют символы Шёнфлиса C, C, C. В то время как в случае точечных групп символ Шёнфлиса однозначно определяет элементы симметрии группы, дополнительный верхний индекс для пространственной группы не содержит информации о трансляционной симметрии пространственной группы (центрировании решетки, трансляционных компонентах осей и плоскостей), поэтому необходимо обращаться к специальным таблицам, содержащим информацию о соответствии между символами Шёнфлиса и нотацией Германа–Могена. Такая таблица приведена на странице «Список пространственных групп».