Кіріспе
Операторлардың интерполяциясы туралы теорема
Математикада Риесс-Торин теоремасы, көбінесе Риесс-Торин интерполяция теоремасы немесе Риесс-Торин дөңестік теоремасы деп аталады, операторлардың интерполяциясы туралы нәтиже. Ол Марсель Риесс және оның шәкірті Г. Олоф Ториннің есімімен аталған. Бұл теорема [[lp space space]] аралығында әрекет ететін сызықтық түрлендірулердің нормаларын шектейді. Оның пайдалылығы осы кеңістіктердің кейбіреулерінің құрылымы басқаларына қарағанда қарапайым болуында. Әдетте бұл L² – Гильберт кеңістігі, немесе L¹ және L∞. Сондықтан, күрделірек жағдайларда теоремаларды екі қарапайым жағдайда дәлелдеу арқылы көрсетуге болады, содан кейін Риесс-Торин теоремасын қарапайым жағдайлардан күрделі жағдайларға өту үшін қолдануға болады. Марсинкевич теоремасы ұқсас, бірақ сызықтық емес түрлендірулер класына да қолданылады.
Теореманың тұжырымдамасы
Риесс-Торин интерполяция теоремасын тұжырымдаудың бірнеше тәсілі бар; алдыңғы бөлімдегі белгілермен сәйкес болу үшін біз жиынтық формуласын қолданамыз. Басқаша айтқанда, егер T бір мезгілде (p0, q0) және (p1, q1) типінде болса, онда T барлық 0 < θ < 1 үшін (pθ, qθ) типінде болады. Осылайша интерполяция теоремасы көрнекі сипаттама беруге ыңғайлы. Шындығында, T-ның Риесс диаграммасы – бұл бірлік шаршыдағы [0, 1] × [0, 1] аралығындағы барлық нүктелердің жиынтығы, мұнда T (p, q) типінде болады. Интерполяция теоремасы бойынша T-ның Риесс диаграммасы – дөңгелек жиынтық: Риесс диаграммасындағы екі нүкте берілген болса, оларды қосатын түзу кесіндісі де диаграммада болады. Интерполяция теоремасын алғаш рет Марсель Риесс 1927 жылы тұжырымдап, дәлелдеген. 1927 жылғы мақала теореманы тек Риесс диаграммасының төменгі үшбұрышы үшін, атап айтқанда p0 ≤ q0 және p1 ≤ q1 шартымен белгілейді. Олоф Торин интерполяция теоремасын төменгі үшбұрыш шектеуін жойып, бүкіл шаршыға кеңейтті. Ториннің дәлелі алғаш рет 1938 жылы жарияланды, ал кейін 1948 жылғы оның диссертациясында толықтырылды.
Дәлел
Біз ең алдымен қарапайым функциялар үшін нәтижені дәлелдейміз, содан кейін аргументті тығыздық арқылы барлық өлшенетін функцияларға қалай қолдануға болатынын көрсетеміз.
Қарапайым функциялар
Симметрия бойынша, (осы жағдай тривиальды түрде осыдан шығады) деп алайық. болсын қарапайым функция, яғни белгілі бір шекті үшін, және ,. Сол сияқты, дегеніміз де қарапайым функция, атап айтқанда, белгілі бір шекті үшін, және ,.
Ескеріңіз, біз және шекті метрикалық кеңістіктер деп есептейміз, сондықтан барлық үшін және . Содан кейін, тиісті нормалдау арқылы, теорема тұжырымында анықталғандай, және , және , деп есептей аламыз. Енді екі комплекс функцияны анықтаймыз. үшін, және екенін ескеріңіз. Содан кейін және функцияларын келесідей комплекс параметрге тәуелді етіп кеңейтеміз: сондықтан және . Мұнда біз жағдайын жасырамыз, себебі ол : Бұл жағдайда, -ні -ден тәуелсіз түрде алып, аргументті аздаған өзгерістермен қолдануға болады. Енді функцияны енгізейік, мұнда -лар -ден тәуелсіз тұрақтылар. функциясы толық функция екенін көреміз, және ол жолақта шектелген. дәлелдеу үшін, біз тек жоғарыда құрылған барлық және үшін көрсетуіміз керек. Шындығында, егер орындалса, Хадамардың үш сызық теоремасы бойынша, барлық және үшін . Бұл, -ні тұрақтап, -ге қатысты барлық қарапайым функциялар үшін жоғары шек алынатын жерде сол жақ бөлігін келесі лемма арқылы қайта жазуға болады дегенді білдіреді. Біздің жағдайымызда, жоғарыдағы лемма барлық қарапайым функциялар үшін екенін білдіреді. Басқаша айтқанда, кез келген қарапайым функция үшін, .
Note that, since we are assuming and to be finite metric spaces, and for all Then, by proper normalization, we can assume and , with and with , as defined by the theorem statement. Next, we define the two complex functions Note that, for , and We then extend and to depend on a complex parameter as follows: so that and Here, we are implicitly excluding the case , which yields : In that case, one can simply take , independently of , and the following argument will only require minor adaptations. Let us now introduce the function where are constants independent of We readily see that is an entire function, bounded on the strip Then, in order to prove , we only need to show that for all and as constructed above. Indeed, if holds true, by Hadamard three lines theorem, for all and This means, by fixing , that where the supremum is taken with respect to all simple functions with The left hand side can be rewritten by means of the following lemma. In our case, the lemma above implies for all simple function with Equivalently, for a generic simple function,
Lpθ-дегі барлық өлшенетін функцияларға кеңейту
Соңғы уақытқа дейін біз, егер функция қарапайым болса, онда оның орындалатынын дәлелдедік. Бұрын айтылғандай, теңсіздік қарапайым функциялардың тығыздығы арқасында барлық үшін орындалады.
Formally, let and let be a sequence of simple functions such that , for all , and pointwise. Let and define , , and Note that, since we are assuming , and, equivalently, and
Let us see what happens in the limit for Since , and , by the dominated convergence theorem one readily has Similarly, , and imply and, by the linearity of as an operator of types and (we have not proven yet that it is of type for a generic )
It is now easy to prove that and in measure: For any , Chebyshev’s inequality yields and similarly for Then, and a. e. for some subsequence and, in turn, a. e. Then, by Fatou’s lemma and recalling that holds true for simple functions,
Формальды түрде, және болсын, сондай-шама қарапайым функциялар тізбегі үшін, барлық үшін және нүкте бойынша орындалады. және анықталады, , , және ескеріңіз, біз деп есептесек, және, тиісінше, және .
Formally, let and let be a sequence of simple functions such that , for all , and pointwise. Let and define , , and Note that, since we are assuming , and, equivalently, and
Let us see what happens in the limit for Since , and , by the dominated convergence theorem one readily has Similarly, , and imply and, by the linearity of as an operator of types and (we have not proven yet that it is of type for a generic )
It is now easy to prove that and in measure: For any , Chebyshev’s inequality yields and similarly for Then, and a. e. for some subsequence and, in turn, a. e. Then, by Fatou’s lemma and recalling that holds true for simple functions,
Шектеуде не болатынын көрейік. Егер және болса, үстемді конвергенция теоремасы бойынша, оңай алуға болады. Сол сияқты, және орындалса, және, оператор ретіндегі сызықтығынан, және түрлері үшін (біз әлі жалпы жағдайда оның түрі екенін дәлелемедік).
Formally, let and let be a sequence of simple functions such that , for all , and pointwise. Let and define , , and Note that, since we are assuming , and, equivalently, and
Let us see what happens in the limit for Since , and , by the dominated convergence theorem one readily has Similarly, , and imply and, by the linearity of as an operator of types and (we have not proven yet that it is of type for a generic )
It is now easy to prove that and in measure: For any , Chebyshev’s inequality yields and similarly for Then, and a. e. for some subsequence and, in turn, a. e. Then, by Fatou’s lemma and recalling that holds true for simple functions,
Енді, және өлшем бойынша орындалатынын оңай дәлелдеуге болады: кез келген үшін, Чебышев теңсіздігі бойынша және сол сияқты үшін де орындалады. Содан кейін, кейбір ішкі тізбек үшін және, нәтижесінде, а.е. орындалады. Содан кейін, Фату леммасын еске түсіре отырып және қарапайым функциялар үшін орындалатынын еске түсіре отырып,
Formally, let and let be a sequence of simple functions such that , for all , and pointwise. Let and define , , and Note that, since we are assuming , and, equivalently, and
Let us see what happens in the limit for Since , and , by the dominated convergence theorem one readily has Similarly, , and imply and, by the linearity of as an operator of types and (we have not proven yet that it is of type for a generic )
It is now easy to prove that and in measure: For any , Chebyshev’s inequality yields and similarly for Then, and a. e. for some subsequence and, in turn, a. e. Then, by Fatou’s lemma and recalling that holds true for simple functions,
Хаусдорфтың жас теңсіздігі
Бірінші бөлімде Фурье түрлендіруі L^(1)(R^(d)) кеңістігін шектеулі түрде L^(∞)(R^(d)) кеңістігіне, ал L^(2)(R^(d)) кеңістігін өзіне дейін бейнелейтіні көрсетілді. Ұқсас аргумент Фурье қатар операторының да, яғни периодты функцияларды f : T → C функцияларының Фурье коэффициенттеріне тең болатын мәндерге түрлендіретінін көрсетеді, L^(1)(T) кеңістігін шектеулі түрде ℓ^(∞)(Z) кеңістігіне, ал L^(2)(T) кеңістігін ℓ^(2)(Z) кеңістігіне дейін бейнелейтінін көрсетеді. Рисс-Торин интерполяция теоремасы енді мынаны білдіреді:
maps L^(1)('T') boundedly into ℓ^(∞)('Z') and L^(2)('T') into ℓ^(2)('Z'). The Riesz–Thorin interpolation theorem now implies the following:
where 1 ≤ p ≤ 2 and This is the Hausdorff–Young inequality. The Hausdorff–Young inequality can also be established for the Fourier transform on locally compact Abelian groups. The norm estimate of 1 is not optimal. See the main article for references.
мұнда 1 ≤ p ≤ 2 және Бұл Хаусдорф-Янг теңсіздігі. Хаусдорф-Янг теңсіздігі жергілікті жиынтық Абель топтарындағы Фурье түрлендіруі үшін де орнатылуы мүмкін. 1-нің нормалық бағалауы ең жақсысы емес. Сілтемелер үшін негізгі мақаланы қараңыз.
maps L^(1)('T') boundedly into ℓ^(∞)('Z') and L^(2)('T') into ℓ^(2)('Z'). The Riesz–Thorin interpolation theorem now implies the following:
where 1 ≤ p ≤ 2 and This is the Hausdorff–Young inequality. The Hausdorff–Young inequality can also be established for the Fourier transform on locally compact Abelian groups. The norm estimate of 1 is not optimal. See the main article for references.
Нақты интерполяция әдісімен салыстыру
Риесс-Торин интерполяция теоремасы және оның түрлері интерполяцияланған операторлық нормаларға нақты баға беруге мүмкіндік беретін қуатты құралдар болғанымен, олар көптеген кемшіліктерге ие: кейбіреулері ұсақ, ал кейбіреулері айқын. Біріншіден, Риесс-Торин интерполяция теоремасының дәлелінің күрделі талдамалық сипаты скалярлық өрісті 'C' болуға мәжбүрлейді. Кеңейтілген нақты мәнді функциялар үшін бұл шектеуді функцияны кез келген жерде шекті деп қайта анықтап айналып өтуге болады, себебі кез келген интегралданатын функция дерлік барлық жерде шекті болады. Едәуір кемшілік – тәжірибеде көптеген операторлар, мысалы, Харди-Литтлвуд максималды операторы және Кальдерон-Зигмунд операторлары жақсы шектік бағалауларға ие емес. Алдыңғы бөлімдегі Гильберт түрлендіруінің мысалында, біз бұл мәселені бірнеше аралық нүктелерде норма бағалауларын тікелей есептеу арқылы шеше алдық. Бұл қиын және көбінесе жалпы жағдайларда мүмкін емес. Мұндай операторлардың көпшілігі әлсіз типтегі бағалауларды қанағаттандыратындықтан, Марсинкевич интерполяция теоремасы сияқты нақты интерполяция теоремалары олар үшін қолайлырақ. Сонымен қатар, Харди-Литтлвуд максималды операторы сияқты маңызды операторлардың көпшілігі тек сублинейлі. Бұл нақты интерполяция әдістерін қолдануға кедергі емес, бірақ күрделі интерполяция әдістері сызықтық емес операторларды өңдеуге тиімсіз. Екінші жағынан, күрделі интерполяция әдістерімен салыстырғанда, нақты интерполяция әдістері аралық операторлық нормалар бойынша нашар бағалаулар береді және Риес диаграммасындағы диагональдан тыс жағдайда жақсы нәтижелер көрсетпейді. Марсинкевич интерполяция теоремасының диагональдық емес нұсқалары Лоренц кеңістіктерінің формализмін қажет етеді және міндетті түрде L^(p) кеңістіктерінде норма бағалауларын шығармайды.
real interpolation theorems such as the Marcinkiewicz interpolation theorem are better suited for them. Furthermore, a good number of important operators, such as the Hardy Littlewood maximal operator, are only sublinear. This is not a hindrance to applying real interpolation methods, but complex interpolation methods are ill equipped to handle non linear operators. On the other hand, real interpolation methods, compared to complex interpolation methods, tend to produce worse estimates on the intermediate operator norms and do not behave as well off the diagonal in the Riesz diagram. The off diagonal versions of the Marcinkiewicz interpolation theorem require the formalism of Lorentz spaces and do not necessarily produce norm estimates on the L^(p) spaces.