Введение
Теорема об операторной интерполяции
В математике теорема Риеша — Торина, часто называемая теоремой интерполяции Риеша — Торина или теоремой о выпуклости Риеша — Торина, представляет собой результат об интерполяции операторов. Она названа в честь Марселя Риеша и его ученика Г. Олофа Торина. Эта теорема ограничивает нормы линейных отображений, действующих между пространствами Lp. Её полезность обусловлена тем, что некоторые из этих пространств имеют более простую структуру, чем другие. Обычно это относится к L² (которое является пространством Гильберта) или к L¹ и L∞. Поэтому можно доказать теоремы для более сложных случаев, доказав их для двух простых случаев, а затем использовать теорему Риеша — Торина, чтобы перейти от простых случаев к сложным. Теорема Марцинкевича аналогична, но применима также к классу нелинейных отображений.
Заявление теоремы
Существует несколько способов формулировки теоремы интерполяции Риеша — Торина; для последовательности с обозначениями из предыдущего раздела мы будем использовать формулировку через суммарное множество. Иными словами, если оператор T одновременно является оператором типа (p0, q0) и типа (p1, q1), то он является оператором типа (pθ, qθ) для всех 0 < θ < 1. Таким образом, теорема интерполяции позволяет наглядно представить её. Действительно, диаграмма Риеша для T представляет собой множество всех точек в единичном квадрате [0, 1] × [0, 1], для которых T является оператором типа (p, q). Теорема интерполяции утверждает, что диаграмма Риеша для T является выпуклым множеством: для любых двух точек на диаграмме Риеша отрезок, соединяющий их, также будет принадлежать диаграмме. Теорема интерполяции была впервые сформулирована и доказана Марселем Риешем в 1927 году. В работе 1927 года теорема была установлена только для нижней половины диаграммы Риеша, а именно, при ограничениях p0 ≤ q0 и p1 ≤ q1. Олоф Торин расширил теорему интерполяции на весь квадрат, сняв ограничение на нижнюю половину. Доказательство Торина было впервые опубликовано в 1938 году и впоследствии дополнено в его диссертации 1948 года.
Доказательство
Мы сначала докажем результат для простых функций, а затем покажем, как можно распространить аргумент на все измеримые функции, используя плотность.
Простые функции
По симметрии, предположим (случай тривиально следует из ). Пусть будет простой функцией, то есть для некоторого конечного , и , Аналогично, обозначим простую функцию , а именно для некоторого конечного , и , Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем и быть конечными метрическими пространствами, и для всех . Тогда, с помощью подходящей нормализации, можно предположить и , с и с , как определено в утверждении теоремы. Далее определим две комплексные функции. Отметим, что для , и затем расширим зависимость и от комплексного параметра следующим образом: так, чтобы и Здесь мы неявно исключаем случай , который приводит к : В этом случае можно просто взять , независимо от , и дальнейшие рассуждения потребуют лишь незначительных адаптаций. Теперь введем функцию , где константы не зависят от . Легко видеть, что это целая функция, ограниченная на полосе . Тогда, чтобы доказать , нам достаточно показать, что для всех и , как построено выше. Действительно, если это верно, то по теореме о трех линиях Адамара, для всех и . Это означает, что, фиксируя , где супремум берется по всем простым функциям с . Левую часть можно переписать с помощью следующей леммы. В нашем случае, указанная выше лемма подразумевает для всех простых функций с . Эквивалентно, для произвольной простой функции,
Note that, since we are assuming and to be finite metric spaces, and for all Then, by proper normalization, we can assume and , with and with , as defined by the theorem statement. Next, we define the two complex functions Note that, for , and We then extend and to depend on a complex parameter as follows: so that and Here, we are implicitly excluding the case , which yields : In that case, one can simply take , independently of , and the following argument will only require minor adaptations. Let us now introduce the function where are constants independent of We readily see that is an entire function, bounded on the strip Then, in order to prove , we only need to show that for all and as constructed above. Indeed, if holds true, by Hadamard three lines theorem, for all and This means, by fixing , that where the supremum is taken with respect to all simple functions with The left hand side can be rewritten by means of the following lemma. In our case, the lemma above implies for all simple function with Equivalently, for a generic simple function,
Расширение на все измеримые функции в Lpθ
До сих пор мы доказали, что это справедливо, когда является простой функцией. Как уже упоминалось, неравенство выполняется для всех благодаря плотности простых функций в . Формально, пусть и пусть будет последовательностью простых функций, такой что , для всех , и поточечно. Определим , , и обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем , и, эквивалентно, и . Давайте посмотрим, что происходит в пределе для . Поскольку , и , по теореме о мажорированном сходимости легко получаем . Аналогично, , и подразумевают и , а благодаря линейности как оператора, действующего из типов в типы (мы еще не доказали, что он имеет тип для произвольного ), это также верно.
Formally, let and let be a sequence of simple functions such that , for all , and pointwise. Let and define , , and Note that, since we are assuming , and, equivalently, and
Let us see what happens in the limit for Since , and , by the dominated convergence theorem one readily has Similarly, , and imply and, by the linearity of as an operator of types and (we have not proven yet that it is of type for a generic )
Теперь легко доказать, что и в мере: для любого , неравенство Чебышева дает и аналогично для . Тогда, и почти всюду для некоторой подпоследовательности и, следовательно, почти всюду. Затем, по лемме Фату и учитывая, что выполняется для простых функций,
Хаусдорф Неравенство молодых
Было показано в первом разделе, что преобразование Фурье отображает L^(1)(R^(d)) ограничено в L^(∞)(R^(d)) и L^(2)(R^(d)) в себя. Аналогичный аргумент показывает, что оператор ряда Фурье, который преобразует периодические функции f : T → C в функции, значения которых являются коэффициентами Фурье, отображает L^(1)(T) ограничено в l^(∞)(Z) и L^(2)(T) в l^(2)(Z). Теорема интерполяции Риеша — Торина теперь влечет следующее:
maps L^(1)('T') boundedly into ℓ^(∞)('Z') and L^(2)('T') into ℓ^(2)('Z'). The Riesz–Thorin interpolation theorem now implies the following:
where 1 ≤ p ≤ 2 and This is the Hausdorff–Young inequality. The Hausdorff–Young inequality can also be established for the Fourier transform on locally compact Abelian groups. The norm estimate of 1 is not optimal. See the main article for references.
где 1 ≤ p ≤ 2 и Это неравенство Хаусдорфа — Янга. Неравенство Хаусдорфа — Янга также может быть установлено для преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах. Оценка нормы для 1 не является оптимальной. См. основную статью для ссылок.
maps L^(1)('T') boundedly into ℓ^(∞)('Z') and L^(2)('T') into ℓ^(2)('Z'). The Riesz–Thorin interpolation theorem now implies the following:
where 1 ≤ p ≤ 2 and This is the Hausdorff–Young inequality. The Hausdorff–Young inequality can also be established for the Fourier transform on locally compact Abelian groups. The norm estimate of 1 is not optimal. See the main article for references.
Сравнение с методом реальной интерполяции
Хотя теорема интерполяции Риеша-Торина и ее варианты являются мощными инструментами, дающими точную оценку интерполированных операторных норм, они имеют ряд недостатков: некоторые незначительные, некоторые более серьезные. Прежде всего, сложный аналитический характер доказательства теоремы интерполяции Риеша-Торина требует, чтобы скалярное поле было комплексным. Для расширенных вещественнозначных функций это ограничение можно обойти, переопределив функцию так, чтобы она была конечной всюду – что возможно, поскольку каждая интегрируемая функция конечна почти всюду. Более серьезным недостатком является то, что на практике многие операторы, такие как оператор максимума Харди-Литтлвуда и операторы Кальдерона-Зигмунда, не имеют хороших оценок на конечных точках. В случае преобразования Гильберта, рассмотренного в предыдущем разделе, мы смогли обойти эту проблему, явно вычислив оценки нормы в нескольких промежуточных точках. Это громоздко и часто невозможно в более общих случаях. Поскольку многие такие операторы удовлетворяют условиям слабого типа, для них лучше подходят теоремы вещественной интерполяции, такие как теорема интерполяции Марцинкёвича. Кроме того, значительное число важных операторов, например, оператор максимума Харди-Литтлвуда, являются лишь сублинейными. Это не препятствует применению методов вещественной интерполяции, но методы комплексной интерполяции плохо приспособлены для работы с нелинейными операторами. С другой стороны, методы вещественной интерполяции, по сравнению с методами комплексной интерполяции, как правило, дают менее точные оценки промежуточных операторных норм и хуже ведут себя вне диагонали на диаграмме Риеса. Недиагональные версии теоремы интерполяции Марцинкёвича требуют формализма пространств Лоренца и не всегда приводят к оценкам норм в пространствах L^(p).
real interpolation theorems such as the Marcinkiewicz interpolation theorem are better suited for them. Furthermore, a good number of important operators, such as the Hardy Littlewood maximal operator, are only sublinear. This is not a hindrance to applying real interpolation methods, but complex interpolation methods are ill equipped to handle non linear operators. On the other hand, real interpolation methods, compared to complex interpolation methods, tend to produce worse estimates on the intermediate operator norms and do not behave as well off the diagonal in the Riesz diagram. The off diagonal versions of the Marcinkiewicz interpolation theorem require the formalism of Lorentz spaces and do not necessarily produce norm estimates on the L^(p) spaces.