Релятивистік Эйлер теңдеулері: Астрофизика және сұйық механикасы
Relativistic Euler equations
Релятивистік Эйлер теңдеулері: жоғары энергиялық астрофизика, қара тесіктер, нейтронды жұлдыздар сияқты құбылыстарды сипаттау үшін қолданылады. Жарық жылдамдығына жақын сұйықтар үшін маңызды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сұйықтық механикасы мен астрофизикада релятивистік Эйлер теңдеулері – жалпы салыстырмалылықтың әсерін ескеретін Эйлер теңдеулерінің кеңейтілген түрі. Олар жоғары энергиялы астрофизика және сандық салыстырмалылық салаларында қолданылады, онда гамма-сәулелердің жарлымы, аккреция процестері және нейтронды жұлдыздар сияқты құбылыстарды сипаттау үшін жиі пайдаланылады, көбінесе магниттік өріс қосылады. Ескерту: әдебиетпен үйлесімді болу үшін, бұл мақалада табиғи бірліктер, атап айтқанда жарық жылдамдығы және Эйнштейннің жиынтық белгілеуі қолданылады.
In fluid mechanics and astrophysics, the relativistic Euler equations are a generalization of the Euler equations that account for the effects of general relativity. They have applications in high energy astrophysics and numerical relativity, where they are commonly used for describing phenomena such as gamma ray bursts, accretion phenomena, and neutron stars, often with the addition of a magnetic field. Note: for consistency with the literature, this article makes use of natural units, namely the speed of light and the Einstein summation convention.
Мотивация
Жер бетінде байқалатын көптеген сұйықтықтар үшін Ньютон механикасына негізделген дәстүрлі сұйықтық механикасы жеткілікті. Дегенмен, сұйықтықтың жылдамдығы жарық жылдамдығына жақындағанда, күшті гравитациялық өрістерде қозғалғанда, немесе қысым энергия тығыздығына жақындағанда, бұл теңдеулер қолданыссыз болады. Мұндай жағдайлар астрофизикалық қолданыстарда жиі кездеседі. Мысалы, гамма-сәулелердің жарлымы жиі жарық жылдамдығынан аздап ғана төмен жылдамдықпен жүреді, ал нейтронды жұлдыздардың гравитациялық өрісі Жердің гравитациялық өрісінен әлдеқайда күшті болады. Осындай экстремалды жағдайларда сұйықтықтарды тек релятивистік тұрғыдан қарастыру ғана жеткілікті.
For most fluids observable on Earth, traditional fluid mechanics based on Newtonian mechanics is sufficient. However, as the fluid velocity approaches the speed of light or moves through strong gravitational fields, or the pressure approaches the energy density , these equations are no longer valid. Such situations occur frequently in astrophysical applications. For example, gamma ray bursts often feature speeds only less than the speed of light, and neutron stars feature gravitational fields that are more than times stronger than the Earth's. Under these extreme circumstances, only a relativistic treatment of fluids will suffice.
Кіріспе
Қозғалыс теңдеулері кернеу-энергия тензорының үздіксіздік теңдеуінде жатыр:
The equations of motion are contained in the continuity equation of the stress–energy tensor :
мұнда – ковариантты туынды. Кемел сұйықтық үшін,
where is the covariant derivative. For a perfect fluid,
Бұл жерде – сұйықтықтың жалпы масса-энергия тығыздығы (тыныштық массасы мен ішкі энергия тығыздығын қоса алғанда), – сұйықтық қысымы, – сұйықтықтың төрт жылдамдығы және – метрикалық тензор. Бұл жүйедегі энергия тығыздығы, – қысым және – жүйедегі төрт жылдамдық. Теңдеулерді жайып жазсақ, мынаны аламыз (материалдық туынды ретінде қолданып):
Here is the total mass energy density (including both rest mass and internal energy density) of the fluid, is the fluid pressure, is the four velocity of the fluid, and is the metric tensor. Where is the energy density of the system, with being the pressure, and being the four velocity of the system. Expanding out the sums and equations, we have, (using as the material derivative)
Содан кейін, жылдамдықтың өзінің қалай өзгеретінін бақылау үшін таңдасақ, қозғалыс теңдеулері мына түрге енеді:
Then, picking to observe the behavior of the velocity itself, we see that the equations of motion become
Релятивистік емес шекке көшкенде, мынаны аламыз: Бұл сұйықтықтың энергиясы оның тыныштық энергиясымен басым екенін көрсетеді. Бұл шекте және , сондықтан біз Эйлер теңдеуіне ораламыз.
Note that taking the non relativistic limit, we have This says that the energy of the fluid is dominated by its rest energy. In this limit, we have and , and can see that we return the Euler Equation of .