Релятивистские уравнения Эйлера в гидродинамике и астрофизике
Relativistic Euler equations
Релятивистские уравнения Эйлера: обобщение для астрофизики и механики жидкостей при высоких энергиях и сильных гравитационных полях. Применение в астрофизике.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В механике жидкостей и астрофизике релятивистские уравнения Эйлера представляют собой обобщение уравнений Эйлера, учитывающее эффекты общей теории относительности. Они находят применение в высокоэнергетической астрофизике и численной относительности, где обычно используются для описания явлений, таких как гамма-всплески, аккреционные процессы и нейтронные звезды, часто с добавлением магнитного поля. Примечание: для обеспечения согласованности с научной литературой в данной статье используются натуральные единицы, а именно скорость света и соглашение Эйнштейна о суммировании.
In fluid mechanics and astrophysics, the relativistic Euler equations are a generalization of the Euler equations that account for the effects of general relativity. They have applications in high energy astrophysics and numerical relativity, where they are commonly used for describing phenomena such as gamma ray bursts, accretion phenomena, and neutron stars, often with the addition of a magnetic field. Note: for consistency with the literature, this article makes use of natural units, namely the speed of light and the Einstein summation convention.
Мотивация
Для большинства жидкостей, наблюдаемых на Земле, достаточно традиционной механики жидкостей, основанной на ньютоновской механике. Однако, когда скорость жидкости приближается к скорости света, или она движется в сильных гравитационных полях, или давление приближается к плотности энергии, эти уравнения перестают быть применимыми. Подобные ситуации часто возникают в астрофизических задачах. Например, гамма-всплески часто характеризуются скоростями, лишь немного меньшими скорости света, а нейтронные звезды обладают гравитационными полями, которые во много раз сильнее земных. В таких экстремальных условиях требуется только релятивистский подход к описанию жидкостей.
For most fluids observable on Earth, traditional fluid mechanics based on Newtonian mechanics is sufficient. However, as the fluid velocity approaches the speed of light or moves through strong gravitational fields, or the pressure approaches the energy density , these equations are no longer valid. Such situations occur frequently in astrophysical applications. For example, gamma ray bursts often feature speeds only less than the speed of light, and neutron stars feature gravitational fields that are more than times stronger than the Earth's. Under these extreme circumstances, only a relativistic treatment of fluids will suffice.
Введение
Уравнения движения содержатся в уравнении непрерывности тензора энергии-импульса:
The equations of motion are contained in the continuity equation of the stress–energy tensor :
где – ковариантная производная. Для идеальной жидкости:
where is the covariant derivative. For a perfect fluid,
Здесь – полная плотность энергии (включающая как массу покоя, так и плотность внутренней энергии) жидкости, – давление жидкости, – четырехскорость жидкости, а – метрический тензор. Где – плотность энергии системы, – давление, а – четырехскорость системы. Развернув суммы и уравнения, получаем (используя как материальную производную):
Here is the total mass energy density (including both rest mass and internal energy density) of the fluid, is the fluid pressure, is the four velocity of the fluid, and is the metric tensor. Where is the energy density of the system, with being the pressure, and being the four velocity of the system. Expanding out the sums and equations, we have, (using as the material derivative)
Затем, выбрав для наблюдения поведения самой скорости, мы видим, что уравнения движения принимают вид:
Then, picking to observe the behavior of the velocity itself, we see that the equations of motion become
Обратите внимание, что при переходе к нерелятивистскому пределу мы получаем: Это означает, что энергия жидкости определяется в основном ее энергией покоя. В этом пределе у нас есть и , и мы видим, что получаем уравнение Эйлера.
Note that taking the non relativistic limit, we have This says that the energy of the fluid is dominated by its rest energy. In this limit, we have and , and can see that we return the Euler Equation of .