Кіріспе
Функционалдық талдаудағы құрылым, дифференциалдық теңдеулерді шешуге көмектеседі. Банах кеңістігінде әрекет ететін сызықтық оператордың спектрі – функционалдық талдаудың негізгі ұғымы. Спектр, оператордың шектелген керісі жоқ барлық скалярлардан тұрады. Спектрдің стандартты үш бөлікке жіктелуі бар:
The spectrum of a linear operator that operates on a Banach space is a fundamental concept of functional analysis. The spectrum consists of all scalars such that the operator does not have a bounded inverse on The spectrum has a standard decomposition into three parts:
нүктелік спектр, оператордың өзіндік мәндерінен тұрады;
үздіксіз спектр, өзіндік мән емес, бірақ оператордың мәндер жиынын кеңістіктің дұрыс тығыз ішкі жиыны ететін скалярлардан тұрады;
қалдық спектр, спектрдегі қалған барлық скалярлардан тұрады. Бұл жіктелу дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге қатысты және ғылым мен техниканың көптеген салаларында қолданылады. Кванттық механикадағы белгілі мысал – қозған сутек атомдарынан шығатын жарықтағы дискретті спектрлік сызықтар мен үздіксіз жолақтың түсіндірілуі.
a continuous spectrum, consisting of the scalars that are not eigenvalues but make the range of a proper dense subset of the space;
a residual spectrum, consisting of all other scalars in the spectrum. This decomposition is relevant to the study of differential equations, and has applications to many branches of science and engineering. A well known example from quantum mechanics is the explanation for the discrete spectral lines and the continuous band in the light emitted by excited atoms of hydrogen.
Шексіз операторлар үшін
Шектелмеген оператордың спектрін шектелген жағдайдағыдай үш бөлікке бөлуге болады, бірақ оператордың барлық жерде анықталмауы себепті, домен, кері және т.б. анықтамалары күрделірек болады.
Көбейту операторы
σ шекті өлшем кеңістігін (S, Σ, μ) ескере отырып, Банах кеңістігі Lp(μ) қарастырайық. Функция h: S → C негізінен шектелген деп аталады, егер h функциясы μ шарасы бойынша дерлік әр жерде шектелген болса. Негізінен шектелген h функциясы Lp(μ) кеңістігінде шектелген көбейту операторы Th-ді тудырады:
T операторының нормасы h функциясының негізгі жоғарғы шегі болып табылады. h функциясының негізгі диапазоны келесідей анықталады: кешенді сан λ, h функциясының негізгі диапазонында жатады, егер кез келген ε > 0 үшін, h функциясынан ашық шар Bε(λ) преобразының шамасы қатаң оң болса. Біріншіден, σ(Th) h функциясының негізгі диапазонымен сәйкес келетінін көрсетеміз, содан кейін оның әртүрлі бөліктерін зерттейміз. Егер λ h функциясының негізгі диапазонында болмаса, онда ε > 0 таңдайық, сонда h⁻¹(Bε(λ)) жиынының шамасы нөлге тең болады. Функция g(s) = 1/(h(s) − λ) дерлік әр жерде 1/ε-мен шектелген. Көбейту операторы Tg үшін 1 = Tg · (Th − λ) = (Th − λ) · Tg = I теңдігі орындалады. Демек, λ Th операторының спектріне жатпайды. Екінші жағынан, егер λ h функциясының негізгі диапазонында жатса, онда жиындар тізбегін қарастырайық: {Sn = h⁻¹(B1/n(λ))}. Әр Sn жиынының шамасы оң болады. fn функциясын Sn жиынының сипаттамалық функциясы деп белгілейік. Біз тікелей есептей аламыз:
h^(−1)(B1/n(λ))}. Each Sn has positive measure. Let fn be the characteristic function of Sn. We can compute directly
Бұл Th − λ операторы төменнен шектелмегенін, демек, керіленбейтінін көрсетеді. Егер λ μ(h⁻¹({λ})) > 0 шартын қанағаттандырса, онда λ Th операторының нүктелік спектріне жатады. f функциясын h⁻¹(λ) өлшенетін жиынының сипаттамалық функциясы деп белгілейік. Екі жағдайды қарастыра отырып, мынаны анықтаймыз:
Сонымен, λ Th операторының өзіндік мәні болып табылады. h функциясының негізгі диапазонындағы және оң шамалы преобразы жоқ кез келген λ, Th операторының үздіксіз спектріне жатады. Мұны көрсету үшін, Th − λ операторының тығыз диапазонға ие екенін көрсетуіміз керек. f ∈ Lp(μ берілген болса, қайтадан жиындар тізбегін қарастырайық: {Sn = h⁻¹(B1/n(λ))}. gn функциясын S − Sn жиынының сипаттамалық функциясы деп белгілейік. Келесіні анықтайық:
Тікелей есептеулер fn ∈ Lp(μ) екенін көрсетеді. Басым конвергенция теоремасы бойынша,
Lp(μ) нормасында. Демек, көбейту операторларының қалдық спектрі жоқ. Атап айтқанда, спектрлік теорема бойынша, Гильберт кеңістігіндегі нормаль операторлардың қалдық спектрі жоқ.
Гилберт кеңістігіндегі өзін-өзі қосқан операторлар
Хилберт кеңістіктері Банах кеңістіктері болып табылады, сондықтан жоғарыдағы талқылау Хилберт кеңістіктеріндегі шектелген операторларға да қатысты. Назар аудару керек бір мәселе – T* спектрі. Банах кеңістігі үшін T* оператордың транспозын білдіреді және σ(T*) = σ(T) теңдігі орындалады. Ал Хилберт кеңістігі үшін T* әдетте оператордың адъюнктын (қосымша операторды) T ∈ B(H) білдіреді, транспозын емес, және σ(T*) – σ(T) емес, керісінше, оның кешендік конъюгациядағы бейнесі. Өздігінен-өздігіне қосымша T ∈ B(H) үшін Борелдің функционалдық есебі спектрді табиғи түрде бөлуге қосымша мүмкіндіктер береді.