Киллінг формасы және Ли алгебраларының жартылай қарапайымдылығы
Killing form
Киллінг формасы – жаттық топтар мен алгебраларындағы маңызды симметриялық билинейлік форма. Картан критерийлерімен байланысты, жартылай қарапайым алгебраларды анықтауға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Вильгельм Киллингтің есімімен аталатын Киллинг формасы — Ли тобы мен Ли алгебралары теориясындағы маңызды рөл атқаратын симметриялық билинейрлік форма. Картанның критерийлері (шешімділік критерийі және жартылай қарапайымдық критерийі) Киллинг формасының Ли алгебраларының жартылай қарапайымдылығымен тығыз байланысты екенін көрсетеді.
In mathematics, the Killing form, named after Wilhelm Killing, is a symmetric bilinear form that plays a basic role in the theories of Lie groups and Lie algebras. Cartan's criteria (criterion of solvability and criterion of semisimplicity) show that Killing form has a close relationship to the semisimplicity of the Lie algebras.
Тарих және атауы
Киллинг формасы негізінен оның диссертациясындағы жұмысындағы Lie алгебрасы теориясына енгізілді. Лай теориясының тарихи шолуында ол "Киллинг формасы" терминінің алғаш рет 1951 жылы "Séminaire Bourbaki" үшін жасаған бір баяндамасында пайда болғанын айтты; бұл форма бұрын Лай теориясымен айналысатындар қолданған, бірақ есімдік атауы болмағандықтан, қате атау ретінде туындады. Кейбір авторлар қазір "Картан Киллинг формасы" терминін қолданады. 19 ғасырдың соңында Киллинг Lie алгебрасының тұрақты жартылай жай элементінің сипаттамалық теңдеуінің коэффициенттері серіктес топ бойынша инвариант екенін көрсетті, содан кейін Киллинг формасы (яғни 2-дәрежелі коэффициент) инвариант екені анықталды, бірақ ол бұл фактіні көп пайдаланбады. Картан қолданған маңызды нәтиже – Картан критерийі, ол Киллинг формасының тек қана Lie алгебрасы жай Lie алгебраларының тікелей қосындысы болғанда ғана бұзылмайтынын көрсетеді. Егер берілген Lie алгебрасы I1, ..., In идеалдарының тікелей қосындысы болса, онда Киллинг формасы жекелеген қосымшалардың Киллинг формаларының тікелей қосындысы болады.
The Killing form was essentially introduced into Lie algebra theory by in his thesis. In a historical survey of Lie theory, has described how the term "Killing form" first occurred in 1951 during one of his own reports for the Séminaire Bourbaki; it arose as a misnomer, since the form had previously been used by Lie theorists, without a name attached. Some other authors now employ the term "Cartan Killing form". At the end of the 19th century, Killing had noted that the coefficients of the characteristic equation of a regular semisimple element of a Lie algebra are invariant under the adjoint group, from which it follows that the Killing form (i. e. the degree 2 coefficient) is invariant, but he did not make much use of the fact. A basic result that Cartan made use of was Cartan's criterion, which states that the Killing form is non degenerate if and only if the Lie algebra is a direct sum of simple Lie algebras. If a given Lie algebra is a direct sum of its ideals I1, ,In, then the Killing form of is the direct sum of the Killing forms of the individual summands.
Нақты нысандармен байланыс
Реалдық сандар өрісіндегі жартылай қарапайым Ли алгебрасы болсын. Картанның критерийі бойынша, Киллинг формасы дегенерацияланбайды және жарамды негізде ±1-ге тең диагональдық элементтерімен диагональдануға болады. Сильвестрдің инерция заңы бойынша, оң мәндердің саны – бұл билинейрлік форманың инварианты, яғни ол диагональдау негізін таңдауға тәуелді емес және Ли алгебрасының индексі деп аталады. Бұл сан 0-ден Ли алгебрасының өлшеміне дейінгі аралықта болады, және нақты Ли алгебрасының маңызды инварианты болып табылады. Атап айтқанда, егер Киллинг формасы теріс анықталған болса (немесе Ли алгебрасы жартылай қарапайым болмаса, теріс жартылай анықталған болса), нақты Ли алгебрасы компактты деп аталады. Бұл Ли алгебрасының компакттығы үшін қолданылатын екі баламасыз анықтаманың бірі екенін ескеріңіз; екіншісі Ли алгебрасы компактты Ли тобына сәйкес келсе, компактты деп айтады. Киллинг формасының теріс анықталғандығы тұрғысынан компакттылықтың анықтамасы шектеулірек, өйткені осы анықтаманы қолдану арқылы Ли сәйкестігі бойынша компактты Ли алгебралары компактты Ли топтарына сәйкес келетіні көрсетіледі. Егер комплекс сандар өрісіндегі жартылай қарапайым Ли алгебрасы болса, онда оның комплекстеуі болатын бірнеше изоморфты емес нақты Ли алгебралары бар, олар оның нақты түрлері деп аталады. Кез келген комплекс жартылай қарапайым Ли алгебрасы бірегей (изоморфизмге дейін) компактты нақты түрге ие. Берілген комплекс жартылай қарапайым Ли алгебрасының нақты түрлері көбінесе олардың Киллинг формасының оң инерция индексімен белгіленеді. Мысалы, комплекс арнайы сызықтық алгебраның екі нақты түрі бар: нақты арнайы сызықтық алгебра, оны деп белгілейді, және арнайы унитарлық алгебра, оны деп белгілейді. Біріншісі компактты емес, «бөлінген» нақты түр деп аталады, ал оның Киллинг формасы (2, 1) қолтаңбасына ие. Екіншісі – компактты нақты түр және оның Киллинг формасы теріс анықталған, яғни (0, 3) қолтаңбасына ие. Тиісті Ли топтары – бірлік детерминанты бар 2 × 2 нақты матрицалардың компактты емес тобы және компактты арнайы унитарлық тобы.
Suppose that is a semisimple Lie algebra over the field of real numbers By Cartan's criterion, the Killing form is nondegenerate, and can be diagonalized in a suitable basis with the diagonal entries ±1. By Sylvester's law of inertia, the number of positive entries is an invariant of the bilinear form, i. e. it does not depend on the choice of the diagonalizing basis, and is called the index of the Lie algebra This is a number between 0 and the dimension of which is an important invariant of the real Lie algebra. In particular, a real Lie algebra is called compact if the Killing form is negative definite (or negative semidefinite if the Lie algebra is not semisimple). Note that this is one of two inequivalent definitions commonly used for compactness of a Lie algebra; the other states that a Lie algebra is compact if it corresponds to a compact Lie group. The definition of compactness in terms of negative definiteness of the Killing form is more restrictive, since using this definition it can be shown that under the Lie correspondence, compact Lie algebras correspond to compact Lie groups. If is a semisimple Lie algebra over the complex numbers, then there are several non isomorphic real Lie algebras whose complexification is , which are called its real forms. It turns out that every complex semisimple Lie algebra admits a unique (up to isomorphism) compact real form The real forms of a given complex semisimple Lie algebra are frequently labeled by the positive index of inertia of their Killing form. For example, the complex special linear algebra has two real forms, the real special linear algebra, denoted , and the special unitary algebra, denoted The first one is noncompact, the so called split real form, and its Killing form has signature (2, 1). The second one is the compact real form and its Killing form is negative definite, i. e. has signature (0, 3). The corresponding Lie groups are the noncompact group of 2 × 2 real matrices with the unit determinant and the special unitary group , which is compact.
Тiрiк нысандары
Анықтамалық өрісте шекті өлшемді Лай алгебрасы болсын, ал – Лай алгебрасының бейнесі болсын. Сонда, –ның трассалық функционалын анықтауға болады. Осыдан бейнелеу үшін трассалық форманы былай анықтауға болады:
Let be a finite dimensional Lie algebra over the field , and be a Lie algebra representation. Let be the trace functional on Then we can define the trace form for the representation as
Онда, өкілдік қосымша өкілдік болған жағдайда, Киллинг формасының ерекше жағдайы болады.
Then the Killing form is the special case that the representation is the adjoint representation,
Кез келген өкілдік үшін бұл симметриялық, екі сызықты және инвариант екенін көрсету оңай. Егер сондай-ақ – жай және – ықшам болса, онда өкілдіктің индексі – болатынын көрсетуге болады.
It is easy to show that this is symmetric, bilinear and invariant for any representation
If furthermore is simple and is irreducible, then it can be shown where is the index of the representation.