Форма Киллинга в теории Ли: свойства и приложения.

Введение

В математике форма Киллинга, названная в честь Вильгельма Киллинга, является симметричной билинейной формой, играющей фундаментальную роль в теориях групп Ли и алгебр Ли. Критерии Картана (критерий разрешимости и критерий полупростоты) демонстрируют тесную связь формы Киллинга с полупростотой алгебр Ли.

История и название

Форма Киллинга была по существу введена в теорию алгебр Ли в его диссертации. В историческом обзоре теории Ли, описал, как термин "форма Киллинга" впервые возник в 1951 году во время одного из его докладов на семинаре Бурбаки; это произошло из-за ошибочного названия, поскольку эта форма ранее использовалась исследователями в теории Ли без какого-либо названия. Некоторые авторы теперь используют термин "форма Киллинга-Картана". В конце XIX века Киллинг заметил, что коэффициенты характеристического уравнения регулярного полупростого элемента алгебры Ли инвариантны относительно присоединенной группы, из чего следует, что форма Киллинга (то есть коэффициент второй степени) также инвариантна, но он не придавал этому факту большого значения. Важным результатом, использованным Кар таном, был критерий Кар тана, который утверждает, что форма Киллинга является невырожденной тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых алгебр Ли. Если заданная алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов I1, …, In, то форма Киллинга алгебры Ли является прямой суммой форм Киллинга отдельных слагаемых.

Связь с реальными формами

Предположим, что – полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел. По критерию Картана форма Киллинга является невырожденной и может быть диагонализирована в подходящем базисе с диагональными элементами ±1. По закону инерции Сильвестра число положительных элементов является инвариантом билинейной формы, то есть не зависит от выбора диагонализирующего базиса и называется индексом алгебры Ли. Это число лежит между 0 и размерностью , и является важным инвариантом реальной алгебры Ли. В частности, реальная алгебра Ли называется компактной, если форма Киллинга отрицательно определена (или отрицательно полуопределена, если алгебра Ли не полупроста). Следует отметить, что это одно из двух неэквивалентных определений компактности алгебры Ли; другое утверждает, что алгебра Ли компактна, если она соответствует компактной группе Ли. Определение компактности в терминах отрицательной определенности формы Киллинга более ограничительно, поскольку с его помощью можно показать, что в соответствии с соответствием Ли компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли. Если – полупростая алгебра Ли над комплексными числами, то существует несколько неизоморфных реальных алгебр Ли, комплексное расширение которых равно , и они называются ее реальными формами. Оказывается, что каждая комплексная полупростая алгебра Ли допускает единственную (с точностью до изоморфизма) компактную реальную форму. Реальные формы заданной комплексной полупростой алгебры Ли часто обозначаются положительным индексом инерции их формы Киллинга. Например, комплексная специальная линейная алгебра имеет две реальные формы: реальную специальную линейную алгебру, обозначаемую , и специальную унитарную алгебру, обозначаемую . Первая из них некомпактна, так называемая расщепленная реальная форма, и ее форма Киллинга имеет сигнатуру (2, 1). Вторая является компактной реальной формой, и ее форма Киллинга отрицательно определена, то есть имеет сигнатуру (0, 3). Соответствующие группы Ли – это некомпактная группа 2 × 2 вещественных матриц с единичным определителем и компактная специальная унитарная группа .

Suppose that is a semisimple Lie algebra over the field of real numbers By Cartan's criterion, the Killing form is nondegenerate, and can be diagonalized in a suitable basis with the diagonal entries ±1. By Sylvester's law of inertia, the number of positive entries is an invariant of the bilinear form, i. e. it does not depend on the choice of the diagonalizing basis, and is called the index of the Lie algebra This is a number between 0 and the dimension of which is an important invariant of the real Lie algebra. In particular, a real Lie algebra is called compact if the Killing form is negative definite (or negative semidefinite if the Lie algebra is not semisimple). Note that this is one of two inequivalent definitions commonly used for compactness of a Lie algebra; the other states that a Lie algebra is compact if it corresponds to a compact Lie group. The definition of compactness in terms of negative definiteness of the Killing form is more restrictive, since using this definition it can be shown that under the Lie correspondence, compact Lie algebras correspond to compact Lie groups. If is a semisimple Lie algebra over the complex numbers, then there are several non isomorphic real Lie algebras whose complexification is , which are called its real forms. It turns out that every complex semisimple Lie algebra admits a unique (up to isomorphism) compact real form The real forms of a given complex semisimple Lie algebra are frequently labeled by the positive index of inertia of their Killing form. For example, the complex special linear algebra has two real forms, the real special linear algebra, denoted , and the special unitary algebra, denoted The first one is noncompact, the so called split real form, and its Killing form has signature (2, 1). The second one is the compact real form and its Killing form is negative definite, i. e. has signature (0, 3). The corresponding Lie groups are the noncompact group of 2 × 2 real matrices with the unit determinant and the special unitary group , which is compact.

Формы следов

Пусть $\mathfrak{g}$ — конечномерная алгебра Ли над полем $K$, и $\rho: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$ — представление алгебры Ли. Пусть $\text{tr}$ — следовая функциональность на $\mathfrak{gl}(V)$. Тогда мы можем определить следовую форму для представления $\rho$ как

$$\text{tr}(\rho(x) \rho(y)) = \langle x, y \rangle_\rho.$$

Тогда Killing-форма является частным случаем, когда представление является сопряжённым представлением, $\text{ad}$. Легко показать, что эта форма симметрична, билинейна и инвариантна для любого представления. Если, кроме того, $\mathfrak{g}$ проста и $V$ неприводима, то можно показать, что $\langle x, y \rangle_\rho = c \langle x, y \rangle$, где $c$ — индекс представления.