Кіріспе
Гомологиялық құрылым
Математикада, абельдік категория А-ның туынды категориясы D(A) – А-да анықталған туынды функторлар теориясын жетілдіру және белгілі бір мағынада оңайлату үшін енгізілген гомологиялық алгебраның құрылымы. Бұл құрылым D(A) нысандары А-дағы тізбекті кешендер болуы керек деген қағидаға негізделген, егер екі тізбекті кешен тізбек картасы арқылы тізбекті кешендердің гомология деңгейінде изоморфизм тудырса, онда олар изоморфты деп есептеледі. Содан кейін тізбекті кешендер үшін туынды функторларды анықтауға болады, бұл гиперкохомология тұжырымдамасын жетілдіреді. Мұндай анықтамалар күрделі спектральдық тізбектермен сипатталған формулаларды айтарлықтай жеңілдетуге мүмкіндік береді (бірақ толыққанды дәл емес). Александр Гротендик пен оның шәкірті Жан Луи Вердье 1960 жылдан кейін жасалған туынды категорияның дамуы, қазір 1950 жылдардағы гомологиялық алгебраның қарқынды дамуының бірінші соңғы нүктесі ретінде қарастырылады, он жылдық ішінде ол елеулі табыстарға жеткен. Вердьедің негізгі теориясы оның диссертациясында жазылған және 1996 жылы Astérisque журналында жарияланған (алдын ала қорытындысы SGA 4½-те жарияланған). Аксиоматика үшін жаңа тұжырым – үшбұрышты категория қажет болды, ал құрылым категорияның локализациясына негізделген, бұл сақина локализациясының жалпылауы болып табылады. "Туынды" формализмді дамытуға түрткіс болған бастапқы себеп – Гротендиктің байланысты дуализм теориясының қолайлы тұжырымдамасын табу қажеттілігі болды. Туынды категориялар алгебралық геометриядан тыс салаларда да маңызды рөл атқарады, мысалы, D-модульдер теориясын және микролокалды талдауды құруда. Соңғы кезде туынды категориялар физикаға жақын салаларда, мысалы, D-брандар және айна симметриясында да маңызды болып табылады. Шалтенштейн 1988 жылы шексіз туынды категорияларды енгізді.
In mathematics, the derived category D(A) of an abelian category A is a construction of homological algebra introduced to refine and in a certain sense to simplify the theory of derived functors defined on A. The construction proceeds on the basis that the objects of D(A) should be chain complexes in A, with two such chain complexes considered isomorphic when there is a chain map that induces an isomorphism on the level of homology of the chain complexes. Derived functors can then be defined for chain complexes, refining the concept of hypercohomology. The definitions lead to a significant simplification of formulas otherwise described (not completely faithfully) by complicated spectral sequences. The development of the derived category, by Alexander Grothendieck and his student Jean Louis Verdier shortly after 1960, now appears as one terminal point in the explosive development of homological algebra in the 1950s, a decade in which it had made remarkable strides. The basic theory of Verdier was written down in his dissertation, published finally in 1996 in Astérisque (a summary had earlier appeared in SGA 4½). The axiomatics required an innovation, the concept of triangulated category, and the construction is based on localization of a category, a generalization of localization of a ring. The original impulse to develop the "derived" formalism came from the need to find a suitable formulation of Grothendieck's coherent duality theory. Derived categories have since become indispensable also outside of algebraic geometry, for example in the formulation of the theory of D modules and microlocal analysis. Recently derived categories have also become important in areas nearer to physics, such as D branes and mirror symmetry. Unbounded derived categories were introduced by Spaltenstein in 1988.
Көңіл көтеру
Когерентті қаптар теориясында Серре дуалдығының мүмкіндіктерін, сингуляр емес схема болмайтын жағдайда, шегіне дейін зерттеу барысында, жалғыз дуализациялық қаптың орнына қаптардың толық кешенін қолдану қажеттігі анық болды. Шындығында, Коэн-Макалей сақинасының шарты, сингулярлықтың әлсіреуі, жалғыз дуализациялық қаптың болуымен байланысты; ал бұл жалпы жағдайдан мүлдем өзгеше. Гротендик әрқашан қолданған жоғарыдан төменге қарайғы талдау позициясы, қайта құру қажеттігін көрсетті. Осы идеямен бірге, "шынайы" тензорлық көбейту және Hom функторлары туынды деңгейде ғана болады деген тұжырымға келді; оларға қатысты Tor және Ext есептеу құралдары сияқты көрінеді. Абстракция деңгейіне қарамастан, туынды санаттар келесі онжылдықтарда, әсіресе қап кохомологиясы үшін ыңғайлы орта ретінде қабылданды. Шамамен 1980 жылы Риманн-Хилберт сәйкестігін 1-ден жоғары өлшемдерде туынды терминдермен тұжырымдау, бәлкім, ең маңызды жетістік болды. Сато мектебі туынды санаттардың тілін қабылдады, ал D-модульдерінің кейінгі тарихы осы терминдерде түсіндірілген теорияға негізделді. Параллель даму – гомотопия теориясындағы спектрлер санаты. Спектрлердің гомотопиялық санаты және сақинаның туынды санаты – екеуі де үшбұрышты санаттардың мысалдары болып табылады.
Анықтама
Абельдік категория болсын. (Мысалға, сақинадағы модульдер категориясы және топологиялық кеңістіктегі абельдік топтардың шоғырлары категориясы жатады.) Туынды категория коцейн кешендер категориясына қатысты универсалды қасиет арқылы анықталады. -ның объектілері мына түрде болады:
мұнда әрбір Xi -ның объектісі және композициялардың әрқайсысы нөлге тең. Кешеннің i-кохомология тобы - . Егер және - осы категориядағы екі объекті болса, онда морфизм - морфизмдер отбасы ретінде анықталады, егер мұндай морфизмдер кохомология топтарында морфизмдерді тудырса, ал осы морфизмдердің әрқайсысы -да изоморфизм болса, онда ол квазиизоморфизм деп аталады. Туынды категорияның универсалды қасиеті - квазиизоморфизмдерге қатысты кешендер категориясының локализациясы болып табылады. Нақтырақ айтқанда, туынды категория - бұл категория, сондай-ақ келесі универсалды қасиетке ие функтор: Егер басқа категория (қажетті түрде абельдік емес) және функтор болса, және егер -да квазиизоморфизм болса, онда оның бейнесі -да изоморфизм болады; онда функтор арқылы өтеді. Осы универсалды қасиетке ие кез келген екі категория эквивалентті болады.
The universal property of the derived category is that it is a localization of the category of complexes with respect to quasi isomorphisms. Specifically, the derived category is a category, together with a functor , having the following universal property: Suppose is another category (not necessarily abelian) and is a functor such that, whenever is a quasi isomorphism in , its image is an isomorphism in ; then factors through Any two categories having this universal property are equivalent.
Гомотопия категориясына қатынасы
Егер және – екі морфизм болса , онда тізбектік гомотопия немесе жай ғана гомотопия – әрбір i үшін морфизмдер жиынтығы болып табылады. Екі гомотоптық морфизмнің кохомологиялық топтарда бірдей морфизмдерді тудыратынын көрсету оңай. Егер осындай және морфизмдері сәйкестік морфизмдеріне тізбектік гомотопиялық болса, онда оны тізбектік гомотопиялық эквиваленттік деп атаймыз. Коцейндік кешендердің гомотопиялық санаты – бұл , бірақ морфизмдері кешендердің морфизмдерінің тізбектік гомотопия қатынасына қатысты эквиваленттік кластарынан тұратын санаты. Табиғи функтор бар, ол нысандарда сәйкестік ретінде әрекет етеді және әрбір морфизмді оның тізбектік гомотопиялық эквиваленттік класына жібереді. Барлық тізбектік гомотопиялық эквиваленттік квазиизоморфизм болғандықтан, ол осы функтор арқылы факторланады. Сәйкесінше, гомотопиялық санатты локализация ретінде қарастыруға болады. Модельдік санаттар тұрғысынан алғанда, туынды категория D(A) – кешендер санатының нақты "гомотопиялық санаты", ал K(A) – "наивті гомотопиялық санат" деп аталуы мүмкін.
Алынған санатты құру
Алынған санаттың бірнеше мүмкін құрылыстары бар. Егер санат кішкентай болса, онда квазиизоморфизмдердің формальды түрде керілерін қосу арқылы туынды санатты тікелей құруға болады. Бұл генераторлар мен қатынастар арқылы санатты құрудың жалпы әдісінің мысалы. Егер санат үлкен болса, бұл құрылыс жиын теориялық себептерге байланысты жұмыс істемейді. Бұл құрылыс морфизмдерді жолдардың эквиваленттілік кластары ретінде жасайды. Егер санатта барлық нысандар изоморфты болса, онда кез келген екі нысан арасында эквиваленттілік класының жолдары болады. Сондықтан генераторлар мен қатынастар құрылымы екі нысан арасындағы морфизмдердің эквиваленттілік класын құрауына кепілдік береді. Алайда, санаттағы екі нысан арасындағы морфизмдер әдетте жиынтықтар болуы керек, сондықтан бұл құрылыс нақты санатты құра алмайды. Тіпті кішкентай болса да, генераторлар мен қатынастар құрылысы көбінесе құрылымы түсініксіз санатты тудырады, онда морфизмдер — эквиваленттілік қатынасына бағынған кездейсоқ ұзақ жолдар. Осы себепті, жиын теориясы мәселесі туындамаса да, алынған санатты нақтырақ құру қалыпты жағдай. Басқа құрылыстар гомотопиялық санат арқылы жүзеге асырылады. Санаттағы квазиизоморфизмдер жиынтығы көбейту жүйесін құрайды. Бұл күрделі жолдарды қарапайым жолдармен ауыстыруға мүмкіндік беретін шарттар жиынтығы. Габриэль-Зисман теоремасы локализацияның көбейту жүйесінде шатырлар тұрғысынан қарапайым сипаттамаға ие екенін көрсетеді. Санаттағы морфизмді жұп ретінде сипаттауға болады, онда кейбір кешен үшін ол квазиизоморфизм болып табылады және морфизмдердің тізбекті гомотопиялық эквиваленттілік класы болып табылады. Тұжырымдамалық тұрғыдан алғанда, егер екі шатырда ортақ шатыры болса, олар тең болады. Морфизмдер тізбектерін шатырлармен ауыстыру үлкен санаттардың туынды санаттарындағы жиын теориялық мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Комплексті белгілеп, кодоменында квазиизоморфизмдері бар және морфизмдері коммутативті диаграммалар болатын санатты қарастырыңыз. Бұл құрылымдық карталары квазиизоморфизмдер болатын нысандар санаты. Содан кейін көбейту жүйесі шарты, егер бұл колимит шын мәнінде жиын болса, -тен -ке дейінгі морфизмдерді білдіреді. Бұл санат әлеуетті түрде үлкен болғанымен, кейбір жағдайларда оны кішкентай санат басқарады. Мысалы, егер санат AB5 шартын қанағаттандыратын және генераторлар жиынтығына ие Grothendieck абельдік санаты болса, онда тек шектелген кардиналдылықтағы нысандар ғана маңызды. Мұндай жағдайларда шектілікті кішкентай субкатегория бойынша есептеуге болады, бұл нәтиженің жиын болатынын қамтамасыз етеді. Содан кейін санаттың жиынтықтарын осы жиынтықтар ретінде анықтауға болады. Алынған санаттағы морфизмдерді гомотопиялық санаттағы морфизмдерге ауыстыруға негізделген басқа тәсіл бар. Кодомены шектелген инъективті нысандар кешені болатын туынды санаттағы морфизм гомотопиялық санаттағы осы кешенге морфизммен бірдей; бұл терминдік инъективтіліктен туындайды. Терминдік инъективтілікті күштірек шартпен ауыстыру арқылы, тіпті шексіз кешендерге де қолданылатын ұқсас қасиетті алуға болады. Комплекс K инъективті болып табылады, егер әрбір ациклді кешен үшін , бізде бар болса. Мұның тікелей салдары, әрбір кешен үшін , морфизмдер осындай морфизмдермен бірдей. Серпе теоремасы, Гротендик және Спальтенштейннің жұмысын жалпылайды, Grothendieck абельдік санатында әрбір кешен инъективті терминдері бар K инъективті кешенге квазиизоморфты екенін және бұл функторлық екенін көрсетеді. Әсіресе, біз морфизмдерді туынды санатта K инъективті шешімдерге өту арқылы және гомотопиялық санаттағы морфизмдерді есептеу арқылы анықтай аламыз. Серпе құрылысының функторлық қасиеті морфизмдердің композициясының дұрыс анықталғанын қамтамасыз етеді. Шатырларды пайдаланатын құрылыс сияқты, бұл құрылыс та алынған санат үшін қажетті жиын теориялық қасиеттерді қамтамасыз етеді, өйткені бұл қасиеттер гомотопиялық санатпен қанағаттандырылады.
assuming that this colimit is in fact a set. While is potentially a large category, in some cases it is controlled by a small category. This is the case, for example, if is a Grothendieck abelian category (meaning that it satisfies AB5 and has a set of generators), with the essential point being that only objects of bounded cardinality are relevant. In these cases, the limit may be calculated over a small subcategory, and this ensures that the result is a set. Then may be defined to have these sets as its sets. There is a different approach based on replacing morphisms in the derived category by morphisms in the homotopy category. A morphism in the derived category with codomain being a bounded below complex of injective objects is the same as a morphism to this complex in the homotopy category; this follows from termwise injectivity. By replacing termwise injectivity by a stronger condition, one gets a similar property that applies even to unbounded complexes. A complex is K injective if, for every acyclic complex , we have A straightforward consequence of this is that, for every complex , morphisms in are the same as such morphisms in A theorem of Serpé, generalizing work of Grothendieck and of Spaltenstein, asserts that in a Grothendieck abelian category, every complex is quasi isomorphic to a K injective complex with injective terms, and moreover, this is functorial. In particular, we may define morphisms in the derived category by passing to K injective resolutions and computing morphisms in the homotopy category. The functoriality of Serpé's construction ensures that composition of morphisms is well defined. Like the construction using roofs, this construction also ensures suitable set theoretic properties for the derived category, this time because these properties are already satisfied by the homotopy category.
Табыс етілген үй-құралдары
Жоғарыда айтылғандай, туынды категорияда гоможинақтар шатырлар немесе аңғарлар арқылы өрнектеледі, мұнда квазиизоморфизм болады. Элементтердің қалай көрінетінін жақсырақ түсіну үшін, мына нақты тізбекті қарастырыңыз.
We can use this to construct a morphism by truncating the complex above, shifting it, and using the obvious morphisms above. In particular, we have the picture
where the bottom complex has concentrated in degree , the only non trivial upward arrow is the equality morphism, and the only nontrivial downward arrow is This diagram of complexes defines a morphism
in the derived category. One application of this observation is the construction of the Atiyah class.
Бұл тізбектің жоғарыдағы кешенін қиып, жылдырып, жоғарыдағы айқын морфизмдерді пайдаланып морфизмін құруға болады. Атап айтқанда, төменгі кешен дәрежесінде шоғырланған келесі суретте, жалғыз тривиалды емес жоғары қарай бағытталған жебе – теңдік морфизмі, ал жалғыз тривиалды емес төмен қарай бағытталған жебе – . Бұл кешендер диаграммасы туынды категориядағы морфизмді анықтайды. Бұл байқаудың бір қолданылуы – Атия класын құру.
We can use this to construct a morphism by truncating the complex above, shifting it, and using the obvious morphisms above. In particular, we have the picture
where the bottom complex has concentrated in degree , the only non trivial upward arrow is the equality morphism, and the only nontrivial downward arrow is This diagram of complexes defines a morphism
in the derived category. One application of this observation is the construction of the Atiyah class.
Алынған баламалық
Абель санаттары A және B эквивалентті болмауы мүмкін, бірақ олардың туынды санаттары D(A) және D(B) эквивалентті болуы мүмкін. Мұндай жағдайларда A мен B арасында қызықты байланыс туындайды. Мұндай эквиваленттер үшбұрышты санаттардағы t-құрылымдар теориясымен байланысты. Мысалдар келтірейік. К2 Rep – екі төбесі бар Кронекер котельдерінің когерентті шоғырлардың Абельдік санаты болсын. Бұл екі санат өте әртүрлі, бірақ олардың (шекті) туынды санаттары эквивалентті. Q кез келген котель болсын, ал P – Q котелінен кейбір жебелерді кері бұру арқылы алынған котель болсын. Жалпы жағдайда, Q және P котельдерінің бейнелеу санаттары әртүрлі, бірақ Db(Q Rep) әрқашан Db(P Rep) санаттарына эквивалентті болады. X – абельдік сорт болсын, ал Y – оның дуал абельдік сорты болсын. Онда Фурье-Мукай түрлендірулерінің теориясы бойынша Db(Coh(X)) Db(Coh(Y)) санаттарына эквивалентті. Когерентті шоғырлардың эквивалентті туынды санаттарына ие сорттар кейде Фурье-Мукай серіктестері деп аталады.