Введение
Гомологическая конструкция
In mathematics, the derived category D(A) of an abelian category A is a construction of homological algebra introduced to refine and in a certain sense to simplify the theory of derived functors defined on A. The construction proceeds on the basis that the objects of D(A) should be chain complexes in A, with two such chain complexes considered isomorphic when there is a chain map that induces an isomorphism on the level of homology of the chain complexes. Derived functors can then be defined for chain complexes, refining the concept of hypercohomology. The definitions lead to a significant simplification of formulas otherwise described (not completely faithfully) by complicated spectral sequences. The development of the derived category, by Alexander Grothendieck and his student Jean Louis Verdier shortly after 1960, now appears as one terminal point in the explosive development of homological algebra in the 1950s, a decade in which it had made remarkable strides. The basic theory of Verdier was written down in his dissertation, published finally in 1996 in Astérisque (a summary had earlier appeared in SGA 4½). The axiomatics required an innovation, the concept of triangulated category, and the construction is based on localization of a category, a generalization of localization of a ring. The original impulse to develop the "derived" formalism came from the need to find a suitable formulation of Grothendieck's coherent duality theory. Derived categories have since become indispensable also outside of algebraic geometry, for example in the formulation of the theory of D modules and microlocal analysis. Recently derived categories have also become important in areas nearer to physics, such as D branes and mirror symmetry. Unbounded derived categories were introduced by Spaltenstein in 1988.
В математике производная категория D(A) абелевой категории A — это конструкция гомологической алгебры, введенная для уточнения и в определенном смысле для упрощения теории производных функторов, определенных на A. В основе конструкции лежит представление об объектах D(A) как о цепных комплексах в A, при этом два таких цепных комплекса считаются изоморфными, если существует морфизм цепных комплексов, индуцирующий изоморфизм на уровне гомологии. Производные функторы затем могут быть определены для цепных комплексов, уточняя понятие гиперкохомологии. Эти определения приводят к значительному упрощению формул, которые иначе описывались бы (не совсем точно) сложными спектральными последовательностями. Развитие производной категории, начатое Александром Гротендиком и его учеником Жаном Луи Вердье вскоре после 1960 года, теперь представляется одной из ключевых точек в бурном развитии гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетии, отмеченном значительными успехами в этой области. Основная теория Вердье была изложена в его диссертации, опубликованной в 1996 году в Astérisque (краткое изложение ранее появилось в SGA 4½). Для аксиоматизации потребовалось введение нового понятия — треугольной категории, а сама конструкция основана на локализации категории, которая является обобщением локализации кольца. Первоначальным стимулом к разработке "производного" формализма была необходимость найти подходящую формулировку теории когерентной дуальности Гротендика. С тех пор производные категории стали незаменимы не только в алгебраической геометрии, но и в других областях, например, при формулировании теории D-модулей и микролокального анализа. В последнее время производные категории приобрели важное значение и в областях, близких к физике, таких как D-браны и зеркальная симметрия. Неограниченные производные категории были введены Шпальтенштейном в 1988 году.
In mathematics, the derived category D(A) of an abelian category A is a construction of homological algebra introduced to refine and in a certain sense to simplify the theory of derived functors defined on A. The construction proceeds on the basis that the objects of D(A) should be chain complexes in A, with two such chain complexes considered isomorphic when there is a chain map that induces an isomorphism on the level of homology of the chain complexes. Derived functors can then be defined for chain complexes, refining the concept of hypercohomology. The definitions lead to a significant simplification of formulas otherwise described (not completely faithfully) by complicated spectral sequences. The development of the derived category, by Alexander Grothendieck and his student Jean Louis Verdier shortly after 1960, now appears as one terminal point in the explosive development of homological algebra in the 1950s, a decade in which it had made remarkable strides. The basic theory of Verdier was written down in his dissertation, published finally in 1996 in Astérisque (a summary had earlier appeared in SGA 4½). The axiomatics required an innovation, the concept of triangulated category, and the construction is based on localization of a category, a generalization of localization of a ring. The original impulse to develop the "derived" formalism came from the need to find a suitable formulation of Grothendieck's coherent duality theory. Derived categories have since become indispensable also outside of algebraic geometry, for example in the formulation of the theory of D modules and microlocal analysis. Recently derived categories have also become important in areas nearer to physics, such as D branes and mirror symmetry. Unbounded derived categories were introduced by Spaltenstein in 1988.
Мотивация
В теории когерентных пучков, доводя до предела возможности применения двойственности Серре без предположения о несингулярной схеме, стала очевидной необходимость брать целый комплекс пучков вместо единственного дуализирующего пучка. Действительно, условие кольца Коэна-Маколея, являющееся ослаблением несингулярности, соответствует существованию единственного дуализирующего пучка; и это далеко не общий случай. Интеллектуальная позиция "сверху вниз", последовательно придерживавшаяся Гротендиком, указывала на необходимость переформулировки. Вместе с этим пришла идея, что "истинные" тензорное произведение и функторы Hom будут существовать на производном уровне; относительно них Tor и Ext становятся скорее вычислительными инструментами. Несмотря на уровень абстракции, производные категории получили признание в последующие десятилетия, особенно как удобная среда для когомологий пучков. Пожалуй, самым значительным достижением стала формулировка соответствия Римана-Хилберта в размерностях больше 1 в производных терминах, около 1980 года. Школа Сато приняла язык производных категорий, и последующая история D-модулей развивалась как теория, выраженная в этих терминах. Параллельно развивалась категория спектров в теории гомотопий. Гомотопическая категория спектров и производная категория кольца являются примерами триангулированных категорий.
Определение
Пусть $\mathcal{A}$ — абелева категория. (Примеры включают категорию модулей над кольцом и категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве.) Выведенная категория $D(\mathcal{A})$ определяется универсальным свойством относительно категории коцеплексов с членами в $\mathcal{A}$. Объекты $D(\mathcal{A})$ имеют вид
where each Xi is an object of and each of the composites is zero. The ith cohomology group of the complex is If and are two objects in this category, then a morphism is defined to be a family of morphisms such that Such a morphism induces morphisms on cohomology groups , and is called a quasi isomorphism if each of these morphisms is an isomorphism in
The universal property of the derived category is that it is a localization of the category of complexes with respect to quasi isomorphisms. Specifically, the derived category is a category, together with a functor , having the following universal property: Suppose is another category (not necessarily abelian) and is a functor such that, whenever is a quasi isomorphism in , its image is an isomorphism in ; then factors through Any two categories having this universal property are equivalent.
где каждый $X_i$ — объект $\mathcal{A}$, и каждый из композитов $d_i d_{i-1}$ равен нулю. $i$-я когомологическая группа комплекса определяется как $H^i(X) = \ker(d_i) / \operatorname{im}(d_{i-1})$. Если $X$ и $Y$ — два объекта в $D(\mathcal{A})$, то морфизм $f: X \to Y$ определяется как семейство морфизмов $f_i: X_i \to Y_i$, таких что $d_i^Y \circ f_i = f_{i-1} \circ d_i^X$ для всех $i$. Такой морфизм индуцирует морфизмы на когомологических группах $f^i: H^i(X) \to H^i(Y)$, и называется квазиизоморфизмом, если каждый из этих морфизмов является изоморфизмом.
where each Xi is an object of and each of the composites is zero. The ith cohomology group of the complex is If and are two objects in this category, then a morphism is defined to be a family of morphisms such that Such a morphism induces morphisms on cohomology groups , and is called a quasi isomorphism if each of these morphisms is an isomorphism in
The universal property of the derived category is that it is a localization of the category of complexes with respect to quasi isomorphisms. Specifically, the derived category is a category, together with a functor , having the following universal property: Suppose is another category (not necessarily abelian) and is a functor such that, whenever is a quasi isomorphism in , its image is an isomorphism in ; then factors through Any two categories having this universal property are equivalent.
Универсальное свойство выведенной категории заключается в том, что она является локализацией категории комплексов относительно квазиизоморфизмов. В частности, выведенная категория $D(\mathcal{A})$ — это категория, вместе с функтором $Q: K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})$, обладающая следующим универсальным свойством: пусть $C$ — другая категория (не обязательно абелева) и $F: K(\mathcal{A}) \to C$ — функтор, такой что, когда бы ни был квазиизоморфизм $f$ в $K(\mathcal{A})$, его образ $F(f)$ является изоморфизмом в $C$; тогда $F$ факторизуется через $Q$. Любые две категории, обладающие этим универсальным свойством, эквивалентны.
where each Xi is an object of and each of the composites is zero. The ith cohomology group of the complex is If and are two objects in this category, then a morphism is defined to be a family of morphisms such that Such a morphism induces morphisms on cohomology groups , and is called a quasi isomorphism if each of these morphisms is an isomorphism in
The universal property of the derived category is that it is a localization of the category of complexes with respect to quasi isomorphisms. Specifically, the derived category is a category, together with a functor , having the following universal property: Suppose is another category (not necessarily abelian) and is a functor such that, whenever is a quasi isomorphism in , its image is an isomorphism in ; then factors through Any two categories having this universal property are equivalent.
Отношение к категории гомотопии
Если $f$ и $g$ – два морфизма в $\mathcal{A}$, то цепная гомотопия, или просто гомотопия, – это семейство морфизмов $h_i$ таких, что $f - g = \partial h_i + h_{i-1}$ для каждого $i$. Легко показать, что два гомотопных морфизма индуцируют одинаковые морфизмы в кохомологических группах. Мы говорим, что $f$ является цепной гомотопической эквивалентностью, если существует $g$ такое, что $f$ и $g$ гомотопны морфизмам тождества на $A$ и $B$ соответственно. Гомотопическая категория коцеплексов $\text{Ch}(\mathcal{A})$ – это категория с теми же объектами, что и $\text{Ch}(\mathcal{A})$, но чьи морфизмы являются классами эквивалентности морфизмов коцеплексов по отношению к отношению цепной гомотопии. Существует естественный функтор $Q: \text{Ch}(\mathcal{A}) \to \text{Ch}(\mathcal{A})$, являющийся тождественным на объектах и отображающий каждый морфизм в его класс цепной гомотопической эквивалентности. Поскольку каждая цепная гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом, $Q$ факторизуется через этот функтор. Следовательно, $\text{Ch}(\mathcal{A})$ можно рассматривать как локализацию гомотопической категории. С точки зрения теории моделей, производная категория $D(\mathcal{A})$ является истинной «категорией гомотопии» категории коцеплексов, в то время как $K(\mathcal{A})$ можно назвать «наивной категорией гомотопии».
Построение выведенной категории
Существует несколько возможных построений производной категории. Когда категория мала, существует прямое построение производной категории путем формального присоединения обратных к квазиизоморфизмам. Это пример общей конструкции категории по генераторам и отношениям. Когда является большой категорией, это построение не работает по причинам теории множеств. Это построение создает морфизмы как классы эквивалентности путей. Если содержит собственный класс объектов, все из которых изоморфны, то между любыми двумя из этих объектов существует собственный класс путей. Следовательно, построение по генераторам и отношениям лишь гарантирует, что морфизмы между двумя объектами образуют собственный класс. Однако морфизмы между двумя объектами в категории обычно должны быть множествами, и поэтому это построение не позволяет получить настоящую категорию. Даже когда мала, построение по генераторам и отношениям обычно приводит к категории с непрозрачной структурой, где морфизмы — это произвольно длинные пути, подчиняющиеся таинственному отношению эквивалентности. По этой причине обычно производную категорию строят более конкретно, даже когда теория множеств не является проблемой. Эти другие построения проходят через категорию гомотопии. Множество квазиизоморфизмов в образует мультипликативную систему. Это набор условий, позволяющих переписывать сложные пути в более простые. Теорема Габриэля — Зизмана утверждает, что локализация по мультипликативной системе имеет простое описание в терминах крыш. Морфизм в можно описать как пару , где для некоторого комплекса является квазиизоморфизмом, а — классом гомотопии цепных морфизмов. Концептуально это представляет Две крыши эквивалентны, если у них есть общая надкрыша. Замена цепочек морфизмов крышами также позволяет разрешить проблемы теории множеств, связанные с производными категориями больших категорий. Зафиксируем комплекс и рассмотрим категорию , объекты которой — квазиизоморфизмы в с кодоменом и морфизмы которой — коммутативные диаграммы. Эквивалентно, это категория объектов над , структура которых задается квазиизоморфизмами. Тогда условие мультипликативной системы подразумевает, что морфизмы в из в существуют при условии, что этот копредел является множеством. Хотя потенциально является большой категорией, в некоторых случаях она контролируется малой категорией. Это справедливо, например, если является абелевой категорией Гротендика (то есть удовлетворяет условию AB5 и имеет множество генераторов), причем существенным является то, что важны только объекты ограниченной кардинальности. В этих случаях предел можно вычислить по малой подкатегории, что гарантирует, что результат будет множеством. Тогда можно определить, имея эти множества в качестве своих множеств. Существует другой подход, основанный на замене морфизмов в производной категории морфизмами в категории гомотопии. Морфизм в производной категории с кодоменом, являющимся комплексом инъективных объектов, ограниченным снизу, совпадает с морфизмом в этот комплекс в категории гомотопии; это следует из термвисной инъективности. Заменяя термвисную инъективность более сильным условием, получаем аналогичное свойство, применимое даже к неограниченным комплексам. Комплекс является K-инъективным, если для каждого ациклического комплекса мы имеем Непосредственным следствием этого является то, что для каждого комплекса , морфизмы в и совпадают. Теорема Серпе, обобщающая работы Гротендика и Спальтенштейна, утверждает, что в абелевой категории Гротендика каждый комплекс квазиизоморфен K-инъективному комплексу с инъективными терминами, и, более того, это верно с точностью до изоморфизма. В частности, мы можем определить морфизмы в производной категории, переходя к K-инъективным резольвентам и вычисляя морфизмы в категории гомотопии. Функториальность построения Серпе гарантирует, что композиция морфизмов определена корректно. Как и построение с использованием крыш, это построение также обеспечивает подходящие свойства теории множеств для производной категории, на этот раз потому, что эти свойства уже удовлетворяются категорией гомотопии.
assuming that this colimit is in fact a set. While is potentially a large category, in some cases it is controlled by a small category. This is the case, for example, if is a Grothendieck abelian category (meaning that it satisfies AB5 and has a set of generators), with the essential point being that only objects of bounded cardinality are relevant. In these cases, the limit may be calculated over a small subcategory, and this ensures that the result is a set. Then may be defined to have these sets as its sets. There is a different approach based on replacing morphisms in the derived category by morphisms in the homotopy category. A morphism in the derived category with codomain being a bounded below complex of injective objects is the same as a morphism to this complex in the homotopy category; this follows from termwise injectivity. By replacing termwise injectivity by a stronger condition, one gets a similar property that applies even to unbounded complexes. A complex is K injective if, for every acyclic complex , we have A straightforward consequence of this is that, for every complex , morphisms in are the same as such morphisms in A theorem of Serpé, generalizing work of Grothendieck and of Spaltenstein, asserts that in a Grothendieck abelian category, every complex is quasi isomorphic to a K injective complex with injective terms, and moreover, this is functorial. In particular, we may define morphisms in the derived category by passing to K injective resolutions and computing morphisms in the homotopy category. The functoriality of Serpé's construction ensures that composition of morphisms is well defined. Like the construction using roofs, this construction also ensures suitable set theoretic properties for the derived category, this time because these properties are already satisfied by the homotopy category.
Производные Hom-sets
Как отмечалось ранее, в производной категории множества hom выражаются через крыши или долины, где является квазиизоморфизмом. Чтобы лучше понять структуру элементов, рассмотрим точную последовательность
Мы можем использовать её для построения морфизма , усекая комплекс выше, сдвигая его и используя очевидные морфизмы. В частности, у нас получается следующая картина:
где нижний комплекс сосредоточен в степени , единственная нетривиальная стрелка вверх – морфизм равенства, а единственная нетривиальная стрелка вниз – . Эта диаграмма комплексов определяет морфизм
в производной категории. Одним из применений этого наблюдения является построение класса Атия.
Выведенная эквивалентность
Может случиться, что две абелевы категории A и B не эквивалентны, но их производные категории D(A) и D(B) эквивалентны. Часто это представляет собой интересное соотношение между A и B. Такие эквивалентности связаны с теорией t-структур в треугольных категориях. Вот несколько примеров. Пусть Coh(P¹) – абелева категория когерентных пучков на проективной прямой над полем k. Пусть K₂Rep – абелева категория представлений козыря Кронекера с двумя вершинами. Это очень разные абелевы категории, но их (ограниченные) производные категории эквивалентны. Пусть Q – любой козырь, а P – козырь, полученный из Q путем обращения некоторых стрелок. В общем случае, категории представлений Q и P различны, но Db(QRep) всегда эквивалентен Db(PRep). Пусть X – абелево многообразие, Y – его двойственное абелево многообразие. Тогда Db(Coh(X)) эквивалентен Db(Coh(Y)) согласно теории преобразований Фурье — Мукая. Многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков иногда называют партнерами Фурье — Мукая.