Лияпунов фракталдары: Хаостық пен тұрақсыздықтың геометриясы
Lyapunov fractal
Лиапунов фракталдары: математикалық бұтақтанулар, хаостық жүйелер, логистикалық картаның кеңейтілген түрі. Тұрақтандыру және хаос аймақтарын көрсетеді. 🔍📐
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Фракталдың түрі
Type of fractal
Математикада Ляпунов фракталдары (Маркус-Ляпунов фракталдары деп те аталады) – халық санының өсу дәрежесі r екі мән, A және B арасында периодты түрде ауысатын логистикалық картаның кеңейтілуінен туындаған бифуркациялық фракталдар. Ляпунов фракталы тұрақтылық және хаостық мінез-құлық аймақтарын (Ляпунов көрсеткіші арқылы өлшенген) a-b жазықтығында a және b берілген периодты тізбектері үшін бейнелеу арқылы құрастырылады. Суреттерде сары түс тұрақтылықты, ал көк түс хаосты көрсетеді. Ляпунов фракталдарын 1980-ші жылдардың соңында Макс Планк молекулалық физиология институтының неміс-чилилік физигі Марио Маркус ашқан. Олар 1991 жылы Scientific American журналында жарияланған ойын-сауық математикасы туралы ғылыми-танымдық мақала арқылы көпшілікке таныстырылды.
In mathematics, Lyapunov fractals (also known as Markus–Lyapunov fractals) are bifurcational fractals derived from an extension of the logistic map in which the degree of the growth of the population, r, periodically switches between two values A and B. A Lyapunov fractal is constructed by mapping the regions of stability and chaotic behaviour (measured using the Lyapunov exponent ) in the a−b plane for given periodic sequences of a and b. In the images, yellow corresponds to (stability), and blue corresponds to (chaos). Lyapunov fractals were discovered in the late 1980s by the Germano Chilean physicist Mario Markus from the Max Planck Institute of Molecular Physiology. They were introduced to a large public by a science popularization article on recreational mathematics published in Scientific American in 1991.
Қасиеттері
Ляпунов фракталдары әдетте А және В мәндері үшін белгілі бір интервалда салынады. Үлкен мәндер үшін [0,1] интервалы тұрақты болмайды, ал тізбек шексіздікке тартылуы мүмкін, бірақ кейбір параметрлер үшін шекті мәндердің конвергентті циклдары сақталады. Барлық итерациялық тізбектер үшін диагональ a = b стандартты бір параметрлі логистикалық функциядағыдай болады. Тізбек әдетте 0.5 мәнінен басталады, ол итеративтік функцияның сындық нүктесі болып табылады. Бір толық цикл ішінде итеративтік функцияның басқа (жатақ мәнді) сындық нүктелері – бірінші циклде 0.5 мәнінен өтетін нүктелер. Конвергентті цикл кем дегенде бір сындық нүктеге тартылуы керек. Сондықтан, барлық конвергентті циклдарды итерация тізбегін жылжыту арқылы және бастапқы мәнді 0.5 етіп сақтап алуға болады. Бірақ іс жүзінде, осы тізбекті жылжыту фракталдың өзгеруіне алып келеді, себебі кейбір тармақтар басқаларымен жабылады. Мысалы, AB итерациялық тізбегі үшін Ляпунов фракталы (оң жақтағы жоғарғы суретті қараңыз) a және b қатысты толық симметриялық емес.
Lyapunov fractals are generally drawn for values of A and B in the interval For larger values, the interval [0,1] is no longer stable, and the sequence is likely to be attracted by infinity, although convergent cycles of finite values continue to exist for some parameters. For all iteration sequences, the diagonal a = b is always the same as for the standard one parameter logistic function. The sequence is usually started at the value 0.5, which is a critical point of the iterative function. The other (even complex valued) critical points of the iterative function during one entire round are those that pass through the value 0.5 in the first round. A convergent cycle must attract at least one critical point. Therefore, all convergent cycles can be obtained by just shifting the iteration sequence, and keeping the starting value 0.5. In practice, shifting this sequence leads to changes in the fractal, as some branches get covered by others. For instance, the Lyapunov fractal for the iteration sequence AB (see top figure on the right) is not perfectly symmetric with respect to a and b.
Көбірек өлшемдер
Ляпунов фракталдарын екі өлшемнен артық түрде есептеуге болады. n өлшемді фрактал үшін тізбек n әріптен тұратын әліпбиден құрылуы керек, мысалы, 3D фрактал үшін "ABBBCA", оны 3D нысан түрінде немесе әрбір анимация кадрында C бағыты бойынша қиманы көрсететін анимация ретінде бейнелеуге болады, сияқты осы жерде келтірілген мысал.
Lyapunov fractals can be calculated in more than two dimensions. The sequence string for a n dimensional fractal has to be built from an alphabet with n characters, e. g. "ABBBCA" for a 3D fractal, which can be visualized either as 3D object or as an animation showing a "slice" in the C direction for each animation frame, like the example given here.