Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тип фрактала
Type of fractal
В математике фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса — Ляпунова) — это бифуркационные фракталы, полученные из расширения логистического отображения, в котором степень роста популяции, r, периодически переключается между двумя значениями A и B. Фрактал Ляпунова строится путем отображения областей стабильности и хаотического поведения (измеряемого с помощью показателя Ляпунова) в плоскости a–b для заданных периодических последовательностей a и b. На изображениях жёлтый цвет соответствует стабильности, а синий — хаосу. Фракталы Ляпунова были открыты в конце 1980-х годов чилийским физиком немецкого происхождения Марио Маркусом из Института молекулярной физиологии имени Макса Планка. Они стали широко известны благодаря научно-популярной статье о рекреационной математике, опубликованной в журнале Scientific American в 1991 году.
In mathematics, Lyapunov fractals (also known as Markus–Lyapunov fractals) are bifurcational fractals derived from an extension of the logistic map in which the degree of the growth of the population, r, periodically switches between two values A and B. A Lyapunov fractal is constructed by mapping the regions of stability and chaotic behaviour (measured using the Lyapunov exponent ) in the a−b plane for given periodic sequences of a and b. In the images, yellow corresponds to (stability), and blue corresponds to (chaos). Lyapunov fractals were discovered in the late 1980s by the Germano Chilean physicist Mario Markus from the Max Planck Institute of Molecular Physiology. They were introduced to a large public by a science popularization article on recreational mathematics published in Scientific American in 1991.
Свойства
Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале. При больших значениях интервал [0,1] перестает быть стабильным, и последовательность, скорее всего, будет стремиться к бесконечности, хотя для некоторых параметров продолжают существовать сходящиеся циклы конечных значений. Для всех итерационных последовательностей диагональ a = b совпадает с диагональю стандартной логистической функции с одним параметром. Обычно последовательность начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие критические точки итеративной функции (в том числе комплексные) в течение одного полного цикла – это те, которые проходят через значение 0,5 на первом шаге. Сходящийся цикл должен притягивать хотя бы одну критическую точку. Следовательно, все сходящиеся циклы можно получить, просто сдвигая итерационную последовательность и сохраняя начальное значение 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям во фрактале, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB (см. верхнюю фигуру справа) не обладает полной симметрией относительно a и b.
Lyapunov fractals are generally drawn for values of A and B in the interval For larger values, the interval [0,1] is no longer stable, and the sequence is likely to be attracted by infinity, although convergent cycles of finite values continue to exist for some parameters. For all iteration sequences, the diagonal a = b is always the same as for the standard one parameter logistic function. The sequence is usually started at the value 0.5, which is a critical point of the iterative function. The other (even complex valued) critical points of the iterative function during one entire round are those that pass through the value 0.5 in the first round. A convergent cycle must attract at least one critical point. Therefore, all convergent cycles can be obtained by just shifting the iteration sequence, and keeping the starting value 0.5. In practice, shifting this sequence leads to changes in the fractal, as some branches get covered by others. For instance, the Lyapunov fractal for the iteration sequence AB (see top figure on the right) is not perfectly symmetric with respect to a and b.
Больше измерений
Фракталы Ляпунова могут быть вычислены в более чем двух измерениях. Строка последовательности для n-мерного фрактала должна быть составлена из алфавита, содержащего n символов, например, "ABBBCA" для 3D-фрактала, который можно визуализировать либо как трехмерный объект, либо как анимацию, показывающую "срез" в направлении C для каждого кадра, как в приведенном здесь примере.
Lyapunov fractals can be calculated in more than two dimensions. The sequence string for a n dimensional fractal has to be built from an alphabet with n characters, e. g. "ABBBCA" for a 3D fractal, which can be visualized either as 3D object or as an animation showing a "slice" in the C direction for each animation frame, like the example given here.