Кіріспе
Математикадағы ассоциативтік қасиет
Математикалық операцияның қасиеті
Математикада ассоциативтік қасиет – кейбір бинарлық операциялардың қасиеті болып табылады, яғни өрнектегі жақшаларды қайта орналастыру нәтижені өзгертпейді. Ұйғарымдық логикада ассоциативтілік – логикалық дәлелдемелердегі өрнектерді алмастырудың жарамды ережесі болып табылады. Бір ассоциативтік оператордың екі немесе одан көп рет қатарынан кездесетін өрнекте операциялардың орындалу реті маңызды емес, егер операндардың реті өзгермесе. Яғни (өрнекті жақшамен және қажет болса инфикс түрінде қайта жазғаннан кейін) мұндай өрнектегі жақшаларды қайта орналастыру оның мәнін өзгертпейді. Келесі теңдеулерді қарастырайық:
Әрбір жолда жақшалар қайта орналастырылса да, өрнектердің мәндері өзгерген жоқ. Бұл кез келген нақты сандарға қосу және көбейту қолданғанда да дұрыс болғандықтан, «нақты сандардың қосуы және көбейтуі ассоциативтік операциялар» деуге болады. Ассоциативтілік – екі операндтың реті нәтижеге әсер ететінін анықтайтын коммутативтіліктен өзгеше. Мысалы, нақты сандарды көбейтуде рет маңызды емес, яғни , сондықтан нақты сандардың көбейтуі коммутативтік операция болып табылады. Дегенмен, функциялардың композициясы және матрицалардың көбейтуі сияқты операциялар ассоциативті, бірақ (көбінесе) коммутативті емес. Ассоциативтік операциялар математикада кең таралған; шындығында, көптеген алгебралық құрылымдар (мысалы, жартылай топтар және санаттар) олардың бинарлық операцияларының ассоциативті болуын талап етеді. Алайда, көптеген маңызды және қызықты операциялар ассоциативті емес; мысалдарға азайту, дәрежелеу және векторлық көбейтінді жатады. Нақты сандардың теориялық қасиеттеріне қарағанда, компьютер ғылымындағы қозғалмалы нүктелі сандардың қосуы ассоциативті емес, ал өрнекті қалай топтастыруды таңдау дөңгелектеу қатесіне елеулі әсер етуі мүмкін.
Жалпылама қауымдастық құқығы
Егер бинарлық операция ассоциативті болса, операцияны қайталап қолдану, жақшалардың жұптары өрнекте қалай қойылғанына қарамастан, бірдей нәтиже береді. Бұл жалпыланған ассоциативтік заң деп аталады. Мүмкін жақшалардың саны – n+1 мәнге қолданылған n операция үшін 1=Cn каталон санымен анықталады. Мысалы, 4 элементке қолданылған 3 операцияның көбейтіндісін (аргументтердің орналасу тәртібін ескермей), 1=C3 = 5 түрлі тәсілмен жазуға болады:
If the product operation is associative, the generalized associative law says that all these expressions will yield the same result. So unless the expression with omitted parentheses already has a different meaning (see below), the parentheses can be considered unnecessary and "the" product can be written unambiguously as
As the number of elements increases, the number of possible ways to insert parentheses grows quickly, but they remain unnecessary for disambiguation. An example where this does not work is the logical biconditional ↔. It is associative; thus, is equivalent to , but most commonly means , which is not equivalent.
Егер көбейту операциясы ассоциативті болса, жалпыланған ассоциативтік заң бойынша, бұл өрнектердің бәрі бірдей нәтиже береді. Сондықтан, жақшалар алынып тасталған өрнектің басқа мағынасы болмаса (төменде қараңыз), жақшаларды қажетсіз деп санауға болады және «көбейтіндіні» біркелкі жазуға болады, себебі элементтер саны артқан сайын, жақшаларды қоюдың мүмкін болатын тәсілдері тез өседі, бірақ олар мағынаны түсіну үшін қажет емес. Бұл қағида жұмыс істемейтін мысал – логикалық эквиваленттік ↔. Ол ассоциативті; демек, екі өрнегі эквивалентті, бірақ көбінесе деп түсіндіріледі, бұл эквивалентті емес.
If the product operation is associative, the generalized associative law says that all these expressions will yield the same result. So unless the expression with omitted parentheses already has a different meaning (see below), the parentheses can be considered unnecessary and "the" product can be written unambiguously as
As the number of elements increases, the number of possible ways to insert parentheses grows quickly, but they remain unnecessary for disambiguation. An example where this does not work is the logical biconditional ↔. It is associative; thus, is equivalent to , but most commonly means , which is not equivalent.
Мысалдар
Кейбір ассоциативтік операциялар мысалдары төменде келтірілген.
Тарих
Уильям Роуэн Гамильтон шамамен 1844 жылы "қосымдық қасиет" терминін ойлап тапқан сияқты, ол Джон Т. Грейвстен білген октониондардың қосымдық емес алгебрасын зерделеген кезде.