Кіріспе
Екі кірісті қабылдайтын функция. Математикада, екілік функция (екі өзгермалы функция немесе екі айнымалы функция деп те аталады) – екі кірісті қабылдайтын функция. Нақтырақ айтқанда, функция егер жинақылар болса, екілік болады
In mathematics, a binary function (also called bivariate function, or function of two variables) is a function that takes two inputs. Precisely stated, a function is binary if there exists sets such that
where is the Cartesian product of and
мұнда – және жинақыларының Декарт көбейтіндісі.
In mathematics, a binary function (also called bivariate function, or function of two variables) is a function that takes two inputs. Precisely stated, a function is binary if there exists sets such that
where is the Cartesian product of and
Баламалы анықтамалар
Теориялық тұрғыдан алғанда, екілік функция Декарт көбейтіндісінің ішкі жиыны ретінде көрсетілуі мүмкін, мұнда ішкі жиынға тек қана егер болса ғана жатады. Керісінше, ішкі жиыны егер және тек егер кез келген және үшін, болатын бірегей бар болса, екілік функцияны анықтайды. Осы жағдайда, осы арқылы анықталады. Басқаша айтқанда, екілік функцияны -дан -ға дейінгі функция ретінде қарастыруға болады. Алайда, осылай қарастырылған жағдайда да, жазу қалыпты жағдай, орнына. (Яғни, функцияны қолдануды және реттелген жұпты құруды көрсету үшін бірдей жақшалар қолданылады.)
Alternatively, a binary function may be interpreted as simply a function from to Even when thought of this way, however, one generally writes instead of (That is, the same pair of parentheses is used to indicate both function application and the formation of an ordered pair.)
Мысалдар
Бүкіл сандарды бөлуді функция ретінде қарастыруға болады. Егер – бүтін сандар жиыны, – табиғи сандар жиыны (нөлден басқа) және – рационалдық сандар жиыны болса, онда бөлу – екілік функция. Векторлық кеңістікте V, F өрісі бойынша скалярлық көбейту – екілік функция. F өрісінен алынған a скаляры V векторлық кеңістігінен алынған v векторымен біріктіріліп, жаңа av ∈ V векторын құрайды. Тағы бір мысал – ішкі көбейтінділер немесе жалпы жағдайда , формасындағы функциялар, мұнда x және y – тиісті өлшемдегі нақты мәнді векторлар, ал M – матрица. Егер M оң белгілі матрица болса, онда ішкі көбейтінді пайда болады.
In a vector space V over a field F, scalar multiplication is a binary function. A scalar a ∈ F is combined with a vector v ∈ V to produce a new vector av ∈ V.
Another example is that of inner products, or more generally functions of the form , where x, y are real valued vectors of appropriate size and M is a matrix. If M is a positive definite matrix, this yields an inner product.
Екі нақты айнымалының функциялары
Домені ℝ-ның ішкі жиыны болатын функциялар, тіпті олардың домені тіктөртбұрыш құрмаса немесе екі жиынтықтың декарт көбейтіндісін құрмаса да, екі айнымалының функциялары деп аталады.
Қалыпты функцияларды шектеу
Өз кезегінде, бинарлық функциядан бір айнымалының қарапайым функцияларын да шығаруға болады. Кез келген элемент берілген болса, онда функциясы бар, немесе, берілген. Сол сияқты, кез келген элемент берілген болса, онда функциясы бар, немесе, берілген. Компьютер ғылымында, функцияның және функцияның арасындағы осы сәйкестік, функциялар жиыны деп аталады.
Жалпылау
Функцияларға қатысты әр түрлі ұғымдар екілік функцияларға да жалпылана алады. Мысалы, жоғарыда келтірілген бөлу мысалы сюръективті (немесе толық) болып табылады, өйткені әрбір рационалды санды бүтін сан мен табиғи санның бөліндісі ретінде көрсетуге болады. Бұл мысал әрбір кіріс бойынша жеке инъективті, себебі f(x) және f(y) функциялары әрқашан инъективті. Дегенмен, ол екі айнымалыда бір мезгілде инъективті емес, өйткені (мысалы) f(2,4) = f(1,2). Сондай-ақ, тек кіріс мәндерінің белгілі бір шамалары үшін ғана анықталған ішінара екілік функцияларды қарастыруға болады. Мысалы, жоғарыда келтірілген бөлу мысалын Z және N жиындарынан Q жиынына ішінара екілік функция ретінде қарастыруға болады, мұнда N – барлық табиғи сандардың жиыны, нөлді де қамтиды. Бірақ бұл функция екінші кіріс нөлге тең болғанда анықталмайды. Бинарлық операция – X, Y және Z жиындары бірдей болатын екілік функция; бинарлық операциялар алгебралық құрылымдарды анықтау үшін жиі қолданылады. Сызықтық алгебрада билинейрлік түрлендіру – X, Y және Z жиындары векторлық кеңістіктер болатын екілік функция, ал туынды функциялар f(x) және f(y) – сызықтық түрлендірулер. Билинейрлік түрлендіру, кез келген екілік функция сияқты, X × Y жиынынан Z жиынына функция ретінде қарастырылуы мүмкін, бірақ бұл функция әдетте сызықтық болмайды. Алайда, билинейрлік түрлендіруді тензорлық көбейтіндіден Z жиынына бір сызықтық түрлендіру ретінде де қарастыруға болады.
Үштік және басқа функцияларға жалпылау
Бинарлық функция ұғымы кез келген натурал сан n үшін үштік (немесе 3-арлық) функцияға, төрттік (немесе 4-арлық) функцияға немесе жалпы алғанда n-арлық функцияға кеңейтіледі. Z-ге 0-арлық функция Z жиынының бір элементерімен анықталады. Сондай-ақ, A кез келген жиын болса, A-ның әрбір элементері үшін бір кіріс болатын A-арлық функцияны анықтауға болады.
A 0 ary function to Z is simply given by an element of Z. One can also define an A ary function where A is any set; there is one input for each element of A.
Категориялық теория
Категориялар теориясында, n-арлық функциялар көпсанаттағы n-арлық морфизмдерге жалпыланады. n-арлық морфизмді бастапқы n-арлық морфизмнің домендерінің белгілі бір түріндегі көбейтіндісі болатын домені бар қарапайым морфизмдер ретінде қарастыру моноидтік санатта қолданылады. Бір айнымалының туынды морфизмдерін құру жабық моноидтік санатта қолданылады. Жинақтар санаты жабық моноидтік, сондай-ақ векторлық кеңістіктер санаты да, осы арқылы жоғарыда аталған билинейлік түрлендіру ұғымын береді.