Кіріспе

Математикада, екі топ берілген: (G, ∗) және (H, ·). (G, ∗) тобынан (H, ·) тобына дейінгі топтық гомоморфизм – бұл h : G → H функциясы, онда G тобындағы барлық u және v үшін келесі теңдік орындалады:

h(u ∗ v) = h(u) · h(v).

Теңдіктің сол жағындағы топтық операция G тобына, ал оң жағындағы – H тобына қатысты. Осы қасиеттен h функциясы G тобының eG сәйкестік элементін H тобының eH сәйкестік элементіне бейнелейтінін,

және кері элементтерді де кері элементтерге бейнелейтінін шығаруға болады, яғни:

h(u⁻¹) = h(u)⁻¹.

Осылайша, h функциясы "топтық құрылыммен үйлесімді" дейміз. Математиканың қосымша құрылыммен жабдықталған топтарды қарастыратын салаларында гомоморфизм кейде топтық құрылымды ғана емес, сонымен қатар қосымша құрылымды да сақтайтын бейнелеуді білдіреді. Мысалы, топологиялық топтардың гомоморфизмі үздіксіз болуы керек.

Интуиция

Топтық гомоморфизмді анықтаудың мақсаты алгебралық құрылымды сақтайтын функцияларды құру. Топтық гомоморфизмнің эквивалентті анықтамасы: h : G → H функциясы топтық гомоморфизм болып табылады, егер a ∗ b = c болғанда, h(a) ⋅ h(b) = h(c) орындалса. Басқаша айтқанда, H тобы белгілі бір жағынан G тобына ұқсас алгебралық құрылымға ие, ал h гомоморфизмі осы құрылымды сақтайды.

Түрлері

Мономорфизм – инъективті (немесе, бір-бірге сәйкес) топтық гомоморфизм; яғни, ерекшеленген элементтерді сақтайды. Эпиморфизм – сюръективті (немесе, барлық элементке дейін) топтық гомоморфизм; яғни, кодомендегі кез келген элементке жетеді. Изоморфизм – биективті, яғни инъективті және сюръективті топтық гомоморфизм. Оның кері гомоморфизмі де топтық гомоморфизм болып табылады. Мұндай жағдайда G және H топтары изоморфты деп аталады; олар элементтерінің жазылуымен ғана ерекшеленеді (бейтарап элементтен басқа) және практикалық тұрғыдан қарағанда толықтай бірдей. Яғни, біз бейтарап элементтен басқа барлық элементтерді қайтадан белгілейміз. Эндоморфизм – h: G → G түріндегі топтық гомоморфизм; домені мен кодомені бірдей. G-ның эндоморфизмі деп те аталады. Автоморфизм – биективті, демек изоморфизм болатын топ эндоморфизмі. G тобының барлық автоморфизмдерінің жиынтығы, функционалдық композиция операциясы бойынша, өзі бір топты құрайды, ол G тобының автоморфизм тобы. Ол Aut(G) арқылы белгіленеді. Мысалы, (Z, +) тобының автоморфизм тобында тек екі элемент бар: сәйкестік түрлендіру және -1-ге көбейту; ол (Z/2Z, +) тобына изоморфты.

Мысалдар

Циклдік топты Z = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) және бүтін сандар тобын (Z, +) қарастырайық. h: Z → Z/3Z бейнелеуі h(u) = u mod 3 – топтық гомоморфизм болып табылады. Ол сюръективті және оның ядросы 3-ке бөлінетін барлық бүтін сандардан тұрады. Экспоненциалдық функция нақты сандар тобы R-ді қосу бойынша нөлдік емес нақты сандар тобы R*-қа көбейту бойынша гомоморфизмге бейнелейді. Ядросы {0} және бейнесі – оң нақты сандар. Экспоненциалдық функция сонымен қатар кешенді сандар тобы C-ді қосу бойынша нөлдік емес кешенді сандар тобы C*-қа көбейту бойынша гомоморфизмге бейнелейді. Бұл бейнелеу сюръективті және оның ядросы {2πki : k ∈ Z} болып табылады, бұл Ойлер формуласынан көрінеді. R және C сияқты, қосымша тобынан көбейту тобына гомоморфизмдері бар өрістер экспоненциалдық өрістер деп аталады. , анықтамасы бойынша гомоморфизм болып табылады. Екі топты қарастырайық және , олар тиісінше және арқылы бейнеленеді, мұнда – оң нақты сандар. Содан кейін логарифм функциясымен анықталған функция гомоморфизм болып табылады.

Топтардың санаты

Егер h: G → H және k: H → K топтық гомоморфизмдер болса, онда k ∘ h: G → K да топтық гомоморфизм болады. Бұл, барлық топтардың жиыны, топтық гомоморфизмдерді морфизмдер ретінде қолдана отырып, категория құрайтынын көрсетеді.