Кіріспе
Бір типті екі алгебралық құрылым арасындағы құрылымды сақтайтын бейнелеу. Алгебрада гомоморфизм – бір типті екі алгебралық құрылым (мысалы, екі топ, екі сақина немесе екі векторлық кеңістік) арасындағы құрылымды сақтайтын бейнелеу. Гомоморфизм сөзі ежелгі грек тілінен шыққан: ὁμός (homos) – "бірдей" және μορφή (morphe) – "форма" немесе "тұлға" деген мағынаны білдіреді. Дегенмен, бұл сөз математикаға неміс тіліндегі "ähnlich" сөзінің "ұқсас" деген мағынасын ὁμός сөзінің "бірдей" деген мағынасына қате аудармасы арқасында енген көрінеді. "Гомоморфизм" термині алғаш рет 1892 жылы неміс математигі Феликс Клейнге (1849–1925) тиесілі деп айтылған. Векторлық кеңістіктердің гомоморфизмдері сызықтық бейнелеулер деп те аталады, олардың зерттелуі сызықтық алгебраның пәні болып табылады. Гомоморфизм түсінігі морфизм деген атпен көптеген басқа құрылымдарға дайындалды, олардың негізгі жиынтығы болмауы немесе алгебралық емеуі мүмкін. Бұл дайындама категориялар теориясының бастапқы нүктесі болып табылады. Гомоморфизм сонымен қатар изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм және т.б. болуы мүмкін (төменде қараңыз). Олардың әрқайсысын морфизмдердің кез келген класына дайындалатын етіп анықтауға болады.
In algebra, a homomorphism is a structure preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός (homos) meaning "same" and μορφή (morphe) meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925). Homomorphisms of vector spaces are also called linear maps, and their study is the subject of linear algebra. The concept of homomorphism has been generalized, under the name of morphism, to many other structures that either do not have an underlying set, or are not algebraic. This generalization is the starting point of category theory. A homomorphism may also be an isomorphism, an endomorphism, an automorphism, etc. (see below). Each of those can be defined in a way that may be generalized to any class of morphisms.
Арнайы гомоморфизмдер
Гомоморфизмдердің бірнеше түрлеріне арнайы атау берілген, бұл атау жалпы морфизмдер үшін де қолданылады.
Эндоморфизм
Эндоморфизм — домені кодоменге тең гомоморфизм, немесе, жалпы алғанда, бастауы нысаны соңына тең морфизм. Бұл (гомо)морфизм мономорфизм болып табылады, егер кез келген жұп үшін , кез келген басқа объекттен , онда . Мономорфизмнің осы екі анықтамасы барлық кең таралған алгебралық құрылымдар үшін эквивалентті. Нақтырақ айтқанда, олар өрістер үшін эквивалентті, онда әр гомоморфизм мономорфизм болып табылады, және әмбебап алгебраның түрлері үшін, яғни операциялар мен аксиомалар (теңдіктер) ешқандай шектеусіз анықталатын алгебралық құрылымдар үшін. (Өрістер түрді құрамайды, өйткені көбейтуге кері операция бірлік операциясы ретінде немесе көбейтудің қасиеті ретінде анықталады, екеуі де тек нөлден өзге элементтер үшін ғана анықталады). Атап айтқанда, мономорфизмнің екі анықтамасы жиындар, магмалар, жартылай топтар, моноидтар, топтар, сақиналар, өрістер, векторлық кеңістіктер және модульдер үшін эквивалентті. Бөлінетін мономорфизм — сол жақтан керісі бар гомоморфизм, сондықтан ол өзі сол екінші гомоморфизмнің оң жақтан керісі болады. Яғни, гомоморфизм бөлінетін мономорфизм болып табылады, егер ондай гомоморфизм бар болса, ол гомоморфизмнің екі мағынасы үшін де мономорфизм болып табылады. Жинақтар мен векторлық кеңістіктер үшін әрбір мономорфизм бөлінетін мономорфизм болып табылады, бірақ бұл қасиет көптеген алгебралық құрылымдар үшін орындалмайды. Инъективті гомоморфизм сол жақтан жойылмайды: егер әрбір үшін , және егер инъективті болса, онда , демек. Бұл дәлел тек алгебралық құрылымдар үшін ғана емес, сонымен қатар объектілері жиындар және жебелері осы жиындар арасындағы бейнелеулер болып табылатын кез келген категория үшін де жұмыс істейді. Мысалы, инъективті үздіксіз бейнелеу — топологиялық кеңістіктер санатындағы мономорфизм. Керісінше, сол жақтан жойылмайтын гомоморфизм инъективті екенін дәлелдеу үшін, әртүрлі алгебралық құрылымдарды ескере отырып, еркін объектіні қарастыру пайдалы. Әртүрлі алгебралық құрылымдағы еркін объект — бұл құрылым және келесі жалпы қасиетті қанағаттандыратын элемент: әртүрлі құрылым үшін және әр элемент үшін , бірегей гомоморфизм бар, мысалы, жиындар үшін еркін объект жай ғана ; жартылай топтар үшін еркін объект — оң бүтін сандардың қосынды жартылай тобына изоморфты жартылай топ; моноидтар үшін еркін объект — оң бүтін сандардың қосынды жартылай тобына изоморфты жартылай топ; топтар үшін еркін объект — шексіз циклдік топ, ол топ ретінде бүтін сандардың қосынды тобына изоморфты; сақиналар үшін еркін объект — полиномдық сақина ; векторлық кеңістіктер немесе модульдер үшін еркін объект — векторлық кеңістік немесе модуль, онда база болып табылады. Егер түр үшін еркін объект болса, онда әрбір сол жақтан жойылмайтын гомоморфизм инъективті болады: болсын сол жақтан жойылмайтын гомоморфизм, және және — элементтер. Еркін объектінің анықтамасы бойынша, гомоморфизмдер бар және осындай және , бірегейлік бойынша әмбебап қасиеттің анықтамасы бойынша. Сол жақтан жойылмайтындықтан, , демек инъективті. Түр үшін еркін объекттің болуы (сонымен қатар қараңыз): еркін объектіні құру үшін, құрылымның операцияларынан және жақсы қалыптасқан формулалар жиынынан тұратын жиынды қарастырыңыз. Егер аксиомаларды (құрылымның теңдіктерін) қолдану арқылы біреуінен екіншісіне өтуге болады, онда екі формула эквивалентті деп айтылады. Бұл теңдестік қатынасын анықтайды, егер теңдіктер шарттарға бағынбаса, яғни түрмен жұмыс істесе. Содан кейін түрдің операциялары осы қатынас үшін эквиваленттік сыныптар жиынында жақсы анықталады. Нәтижесінде пайда болған объектінің еркін объект екенін көрсету оңай.
These two definitions of monomorphism are equivalent for all common algebraic structures. More precisely, they are equivalent for fields, for which every homomorphism is a monomorphism, and for varieties of universal algebra, that is algebraic structures for which operations and axioms (identities) are defined without any restriction (the fields do not form a variety, as the multiplicative inverse is defined either as a unary operation or as a property of the multiplication, which are, in both cases, defined only for nonzero elements). In particular, the two definitions of a monomorphism are equivalent for sets, magmas, semigroups, monoids, groups, rings, fields, vector spaces and modules. A split monomorphism is a homomorphism that has a left inverse and thus it is itself a right inverse of that other homomorphism. That is, a homomorphism is a split monomorphism if there exists a homomorphism such that A split monomorphism is always a monomorphism, for both meanings of monomorphism. For sets and vector spaces, every monomorphism is a split monomorphism, but this property does not hold for most common algebraic structures. An injective homomorphism is left cancelable: If one has for every in , the common source of and If is injective, then , and thus This proof works not only for algebraic structures, but also for any category whose objects are sets and arrows are maps between these sets. For example, an injective continuous map is a monomorphism in the category of topological spaces. For proving that, conversely, a left cancelable homomorphism is injective, it is useful to consider a free object on Given a variety of algebraic structures a free object on is a pair consisting of an algebraic structure of this variety and an element of satisfying the following universal property: for every structure of the variety, and every element of , there is a unique homomorphism such that For example, for sets, the free object on is simply ; for semigroups, the free object on is which, as, a semigroup, is isomorphic to the additive semigroup of the positive integers; for monoids, the free object on is which, as, a monoid, is isomorphic to the additive monoid of the nonnegative integers; for groups, the free object on is the infinite cyclic group which, as, a group, is isomorphic to the additive group of the integers; for rings, the free object on is the polynomial ring for vector spaces or modules, the free object on is the vector space or free module that has as a basis. If a free object over exists, then every left cancelable homomorphism is injective: let be a left cancelable homomorphism, and and be two elements of such By definition of the free object , there exist homomorphisms and from to such that and As , one has by the uniqueness in the definition of a universal property. As is left cancelable, one has , and thus Therefore, is injective. Existence of a free object on for a variety (see also ): For building a free object over , consider the set of the well formed formulas built up from and the operations of the structure. Two such formulas are said equivalent if one may pass from one to the other by applying the axioms (identities of the structure). This defines an equivalence relation, if the identities are not subject to conditions, that is if one works with a variety. Then the operations of the variety are well defined on the set of equivalence classes of for this relation. It is straightforward to show that the resulting object is a free object on .
Жәндіктер
Кез келген гомоморфизм егер және тек қана егер қатынасын анықтайды. Бұл қатынас ядросы деп аталады. Бұл конгруенттік қатынас болып табылады. Квозиент жиынтығын , табиғи жолмен, квозиент жиынтығының операцияларын , әрбір операциясы үшін анықтап, сол сияқты құрылыммен жабдықтауға болады. Бұл жағдайда гомоморфизм астындағы -ның бейнесі міндетті түрде изоморфты болады; бұл факт изоморфизм теоремаларының бірі. Егер алгебралық құрылым қандай да бір операция үшін топ болса, осы операцияның бейтарап элементінің эквиваленттік класы эквиваленттік қатынасты сипаттауға жеткілікті. Бұл жағдайда эквиваленттік қатынастың бөлігі (әдетте "mod" деп оқылады) деп белгіленеді. Бұл жағдайда да , емес , деп аталады ядросы. Берілген типтегі алгебралық құрылымдардың гомоморфизмдерінің ядролары табиғи түрде белгілі бір құрылыммен жабдықталған. Ядролардың бұл құрылымдарының типі абелдік топтар, векторлық кеңістіктер және модульдер жағдайында қарастырылған құрылыммен бірдей, бірақ басқа жағдайларда ерекше атауға ие, мысалы, топтық гомоморфизмдердің ядролары үшін нормальді кіші топ, ал сақина гомоморфизмдерінің ядролары үшін идеалдар (коммутативті емес сақиналар жағдайында ядролар екі жақты идеалдар болып табылады).
Ресми тіл теориясы
Гомоморфизмдер формальды тілдерді зерттеуде де қолданылады және көбінесе оларды қысқаша морфизмдер деп атайды. Егер және алфавиттері берілсе, және барлық үшін шарты орындалса, онда функция гомоморфизм деп аталады. Егер гомоморфизм болса және бос тізбекті білдірсе, онда ол бос тізбекке байланысты еркін гомоморфизм деп аталады, яғни барлық үшін орындалады.
A homomorphism on that satisfies for all is called a uniform homomorphism. If for all (that is, is 1 uniform), then is also called a coding or a projection. The set of words formed from the alphabet may be thought of as the free monoid generated by Here the monoid operation is concatenation and the identity element is the empty word. From this perspective, a language homomorphism is precisely a monoid homomorphism.
Гомоморфизм, егер барлық үшін (яғни 1-рет біркелкі болса) орындалса, кодтау немесе проекция деп те аталады. Алфавиттен құрылған сөздер жиынын, осы алфавит тудырған еркін моноид деп қарастыруға болады. Мұнда моноид операциясы – тізбектеу, ал сәйкестік элементі – бос сөз. Осы көзқарас бойынша, тіл гомоморфизмі – нақты моноид гомоморфизмі болып табылады.
A homomorphism on that satisfies for all is called a uniform homomorphism. If for all (that is, is 1 uniform), then is also called a coding or a projection. The set of words formed from the alphabet may be thought of as the free monoid generated by Here the monoid operation is concatenation and the identity element is the empty word. From this perspective, a language homomorphism is precisely a monoid homomorphism.