Алгебраның негізгі ұғымдары

Кіріспе

Бастауыш алгебра, сондай-ақ колледж алгебрасы деп те аталады, алгебраның негізгі ұғымдарын қамтиды. Ол көбінесе арифметикамен салыстырылады: арифметика нақты сандармен айналысады, ал алгебра айнымалыларды (белгілі мәндері жоқ шамаларды) енгізеді. Айнымалыларды қолдану алгебралық жазуды қолдануды және арифметикада енгізілген операциялардың жалпы ережелерін түсінуді талап етеді: қосу, алу, көбейту, бөлу және т.б. Абстрактты алгебрадан айырмашылығы, бастауыш алгебра нақты және кешенді сандар саласынан тыс алгебралық құрылымдармен айналыспайды. Ол әдетте орта мектеп оқушыларына және АҚШ-тағы колледжлердің кіріспе деңгейінде оқытылады. Әріптер айнымалыларды және тұрақтыларды көрсетеді. Конвенция бойынша, әліпбидің басындағы әріптер (мысалы, a) әдетте тұрақтыларды, ал әліпбидің соңындағы әріптер (мысалы, x және z) айнымалыларды білдіреді. Олар көбінесе курсивпен жазылады. Алгебралық амалдар, мысалы қосу, алу, көбейту, бөлу және дәрежелеу, арифметикалық амалдармен бірдей жұмыс істейді және алгебралық айнымалылар мен мүшелерге қолданылады. Көбейту белгілері көбінесе жіберіліп, екі айнымалының немесе мүшенің арасында бос орын болмағанда немесе коэффициент қолданылғанда түсініледі. Мысалы, 3x деп жазылады және 5ab жазылуы мүмкін. Әдетте, ең жоғары дәрежелі (дәрежесі) мүше сол жаққа жазылады, мысалы, x² x-тің сол жағында жазылады. Коэффициент бірге тең болса, ол әдетте жіберіліп (мысалы, x деп жазылады). Сол сияқты, егер дәрежесі бірге тең болса (мысалы, x деп жазылады). Дәрежесі нөлге тең болса, нәтиже әрқашан 1 болады (мысалы, x⁰ әрқашан 1 деп қайта жазылады). Алайда, 0⁰ анықталмағандықтан, өрнекте пайда болмауы керек, және айнымалылар дәрежелерде пайда болатын өрнектерді оңайлату кезінде сақ болу керек.

Басқа жазу

Алгебралық өрнектерде қажетті форматтау мүмкін болмаса немесе түсініксіз болса, мысалы, тек әріптер мен символдар қолданысқа келгенде, басқа нотация түрлері қолданылады. Мысалы, көрсеткіштер әдетте жоғары индекстер арқылы көрсетіледі, бірақ қарапайым мәтінде және TeX таңбалау тілінде көрсеткішті білдіру үшін карет символы (^) пайдаланылады, сондықтан x² "x^2" деп жазылады. Бұл Lua сияқты кейбір бағдарламалау тілдеріне де қатысты. Ada, Fortran, Perl, Python және Ruby сияқты бағдарламалау тілдерінде екі жұлдызша (**) қолданылады, сондықтан x² "x**2" деп жазылады. Көптеген бағдарламалау тілдері мен калькуляторлар көбейтуді көрсету үшін бір жұлдызшаны (*) пайдаланады, оны міндетті түрде қолдану керек, мысалы, 3x "3*x" деп жазылады.

Өзгергіштер

Элементар алгебра арифметиканы жалпы (белгіленбеген) сандарды бейнелеу үшін айнымалылар деп аталатын әріптерді енгізу арқылы кеңейтеді және дамытады. Бұл бірнеше себеппен пайдалы. Айнымалылар әлі мәндері белгісіз сандарды көрсетуі мүмкін. Мысалы, егер бүгінгі күннің температурасы, С, кешегі күннің температурасынан, Р, 20 градусқа жоғары болса, онда бұл мәселені алгебралық түрде былай сипаттауға болады. Айнымалылар қатысатын шамалардың мәнін нақты көрсетпей, жалпы мәселелерді сипаттауға мүмкіндік береді. Мысалы, 5 минуттың секундқа тең екенін нақты айтуға болады. Ал жалпы (алгебралық) сипаттамада секундтар саны, мұндағы m – минуттар саны деп айтылады. Айнымалылар өзгере алатын шамалар арасындағы математикалық қатынастарды сипаттауға мүмкіндік береді. Мысалы, шеңбердің ұзындығы, c, мен диаметрі, d арасындағы қатынас айнымалылар арқылы сипатталады. Айнымалылар математикалық қасиеттерді де сипаттауға мүмкіндік береді. Мысалы, қосудың негізгі қасиеті – теріс тәртіптілік, ол сандардың қосылу ретінің маңызды еместігін көрсетеді. Тегіс тәртіптілік алгебралық түрде былай жазылады .

Сөз тіркестерін жеңілдету

Алгебралық өрнектер арифметикалық амалдардың (қосу, алу, көбейту, бөлу және дәрежелеу) негізгі қасиеттеріне сүйене отырып, есептеліп және оңайлатылуы мүмкін. Мысалы, қосылатын мүшелер коэффициенттер арқылы оңайлатылады. Мысалы, -ды (мұнда 3 – сандық коэффициент) деп оңайлатуға болады. Көбейтілетін мүшелер дәрежелер арқылы оңайлатылады. Мысалы, -ды деп жазуға болады. Бірдей мүшелер қосылады, мысалы, -ды деп жазуға болады, себебі -ты қамтитын мүшелер қосылады, ал -ты қамтитын мүшелер қосылады. Жақшаларды тарату қасиетін қолданып "ашуға" болады. Мысалы, -ды деп жазуға болады, оны деп жазуға болады. Өрнектер көбейткіштерге жіктелуі мүмкін. Мысалы, -ды екі мүшені де -ға бөлгенде деп жазуға болады.

Теңдеулер

Теңдеу екі өрнектің теңдік белгісін пайдаланып тең екенін көрсетеді. Ең белгілі теңдеулердің бірі – Пифагор заңы, ол тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығын байланыстырады:

Бұл теңдеуде гипотенузаның ұзындығының квадраты, тік бұрышқа қарсы жатқан қабырғасы, ұзындығы a және b әріптерімен белгіленген екі қабырғаның квадраттарының қосындысына тең. Теңдеу – екі өрнектің бірдей мәнге ие екенін және тең екенін білдіретін тұжырым. Кейбір теңдеулер өздеріне қатысты барлық мәндер үшін дұрыс болады (мысалы, ); мұндай теңдеулер тождество деп аталады. Шартты теңдеулер тек кейбір мәндер үшін ғана дұрыс, мысалы, тек x = 2 және x = 3 үшін ғана дұрыс. Теңдеуді дұрыс ететін айнымалылардың мәндері теңдеудің шешімдері болып табылады және теңдеуді шешу арқылы табылған. Теңдеудің тағы бір түрі – теңсіздік. Теңсіздіктер теңдеудің бір жағының екінші жағынан үлкен немесе кішкентай екенін көрсету үшін қолданылады. Осы үшін келесі белгілер қолданылады: > , мұнда ">" үлкендікті білдіреді, ал < , мұнда "<" кішкентайдықты білдіреді. Стандартты теңдеулер сияқты, сандарды қосу, алу, көбейту немесе бөлуге болады. Бір ғана ерекшелік – теріс санға көбейту немесе бөлу кезінде теңсіздік белгісі кері қайрылуы керек.

Орналастыру

Ауыстыру – жаңа өрнек құру үшін өрнектегі шарттарды алмастыру. a*5 өрнегінде a-ны 3-ке ауыстыру 15 мәнін беретін жаңа 3*5 өрнегін жасайды. Бір мәлімдеменің шарттарын ауыстыру жаңа мәлімдеме жасайды. Егер бастапқы мәлімдеме шарттардың мәніне тәуелсіз болса, ауыстыру арқылы алынған мәлімдеме де дұрыс болады. Сондықтан анықтамалар символдық түрде жасалып, ауыстыру арқылы түсіндірілуі мүмкін: егер белгілі бір өрнек a-ның өзін-өзі көбейтуінің анықтамасы болса, a-ны 3-ке ауыстыру оқырманға 1=3 × 3 = 9 екенін көрсетеді. Көбінесе мәлімдеме шарттардың мәніне тәуелсіз дұрыс екені белгісіз болады. Ал ауыстыру мүмкін мәндерге шектеулер қоюға немесе мәлімдеме қандай шарттарда орындалатынын көрсетуге мүмкіндік береді. Мысалы, 1=x + 1 = 0 деген мәлімдемені қарастырайық. Егер x-ті 1-ге ауыстырсақ, онда 1=1 + 1 = 2 = 0 деген нәтиже шығады, бұл жалған. Демек, егер 1=x + 1 = 0 болса, x 1-ге тең бола алмайды. Егер x және y бүтін сандар, бөлшектер немесе нақты сандар болса, онда 1=xy = 0 1=x = 0 немесе 1=y = 0 дегенді білдіреді. 1=abc = 0 деп қарастырайық. Содан кейін a-ны x-ке, ал bc-ны y-ке ауыстыра отырып, 1=a = 0 немесе 1=bc = 0 екенін білеміз. Содан кейін 1=x=b және 1=y=c деп қайталап ауыстыру арқылы, егер 1=bc=0 болса, онда 1=b=0 немесе 1=c=0 екенін көрсетеміз. Сондықтан, егер 1=abc = 0 болса, онда 1=a = 0 немесе (1=b = 0 немесе 1=c = 0), демек 1=abc = 0 1=a = 0 немесе 1=b = 0 немесе 1=c = 0 дегенді білдіреді. Егер бастапқы факт "1=ab = 0 1=a = 0 немесе 1=b = 0 дегенді білдірсе", онда "1=abc = 0 деп қарастырғанда", ауыстыру кезінде шарттардың қайшылығы туындайды. Дегенмен, жоғарыдағы логика 1=abc = 0 болса, онда 1=a = 0 немесе 1=b = 0 немесе 1=c = 0 екенін көрсету үшін қолданылады, егер 1=a = a және 1=b = bc орнына a-ны a-мен, ал b-ны bc-мен ауыстырсақ (және 1=bc = 0 болғанда, b-ны a-мен, ал c-ны b-мен ауыстырсақ). Бұл мәлімдемедегі шарттарды ауыстыру әрқашан мәлімдемедегі шарттарды ауыстырылған шарттармен теңдеумен бірдей болмайтынын көрсетеді. Бұл жағдайда, егер біз a өрнегін бастапқы теңдеудің a мүшесіне ауыстырсақ, ауыстырылған a "1=ab = 0 деген сөз 1=a = 0 немесе 1=b = 0 дегенді білдірмейді" деген мәлімдемедегі a-ға сілтемейтіні анық.

Substitution is replacing the terms in an expression to create a new expression. Substituting 3 for a in the expression a*5 makes a new expression 3*5 with meaning 15. Substituting the terms of a statement makes a new statement. When the original statement is true independently of the values of the terms, the statement created by substitutions is also true. Hence, definitions can be made in symbolic terms and interpreted through substitution: if is meant as the definition of as the product of a with itself, substituting 3 for a informs the reader of this statement that means 1=3 × 3 = 9. Often it's not known whether the statement is true independently of the values of the terms. And, substitution allows one to derive restrictions on the possible values, or show what conditions the statement holds under. For example, taking the statement 1=x + 1 = 0, if x is substituted with 1, this implies 1=1 + 1 = 2 = 0, which is false, which implies that if 1=x + 1 = 0 then x cannot be 1. If x and y are integers, rationals, or real numbers, then 1=xy = 0 implies 1=x = 0 or 1=y = 0. Consider 1=abc = 0. Then, substituting a for x and bc for y, we learn 1=a = 0 or 1=bc = 0. Then we can substitute again, letting 1=x = b and 1=y = c, to show that if 1=bc = 0 then 1=b = 0 or 1=c = 0. Therefore, if 1=abc = 0, then 1=a = 0 or (1=b = 0 or 1=c = 0), so 1=abc = 0 implies 1=a = 0 or 1=b = 0 or 1=c = 0. If the original fact were stated as "1=ab = 0 implies 1=a = 0 or 1=b = 0", then when saying "consider 1=abc = 0," we would have a conflict of terms when substituting. Yet the above logic is still valid to show that if 1=abc = 0 then 1=a = 0 or 1=b = 0 or 1=c = 0 if, instead of letting 1=a = a and 1=b = bc, one substitutes a for a and b for bc (and with 1=bc = 0, substituting b for a and c for b). This shows that substituting for the terms in a statement isn't always the same as letting the terms from the statement equal the substituted terms. In this situation it's clear that if we substitute an expression a into the a term of the original equation, the a substituted does not refer to the a in the statement "1=ab = 0 implies 1=a = 0 or 1=b = 0."

Алгебралық теңдеулерді шешу

Келесі бөлімдер алгебралық теңдеулердің қандай түрлерімен кездесу мүмкін екендігінің мысалдарымен таныстырады.

Сызықтық теңдеулер жүйесі

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің әртүрлі тәсілдері бар.

Артық және аз анықталған жүйелер

Сызықтық теңдеулер санынан көп айнымалысы бар жүйелер толық емес анықталған деп аталады. Мұндай жүйе, егер шешімі болса, бірегей шешімге ие болмайды, оның орнына шексіз көп шешімдерге ие болады. Мұндай жүйенің мысалы:

Оны шешуге тырысқанда, егер шешімдер болса, кейбір айнымалыларды басқаларының функциясы ретінде өрнектеуге тура келеді, бірақ барлық шешімдерді сандық түрде көрсету мүмкін емес, себебі шешімдердің саны шексіз. Теңдеулер саны айнымалылардан көп болған жүйе артық анықталған деп аталады. Егер артық анықталған жүйеде шешімдер болса, онда кейбір теңдеулер міндетті түрде басқаларының сызықтық комбинациясы болып табылады.