Биекция: математикалық жиындар арасындағы сәйкестік, инъективтілік пен сюръективтілікті қамтиды. Қайтымды функция, домен мен кодомен арасындағы қатынас.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір-бірге сәйкестік
One to one correspondence
Биекция, биективті функция немесе екі математикалық жиынның бір-бірге сәйкестігі – екінші жиынның (кодомен) әрбір элементі бірінші жиынның (домен) дәл бір элементімен байланыстырылатын функция. Басқаша айтқанда, биекция – екі жиын арасындағы қатынас, онда әрбір жиынның әрбір элементі екінші жиынның дәл бір элементімен жұптасады. Функция, егер және тек қана кері функцияға ие болса, биективті болып табылады; яғни, функция егер және тек қана f функциясының кері функциясы болса, онда екі функцияны құрастырудың екі тәсілі де бірлік функциясын тудырады: әрбір үшін және әрбір үшін.
A bijection, bijective function, or one to one correspondence between two mathematical sets is a function such that each element of the second set (the codomain) is mapped to from exactly one element of the first set (the domain). Equivalently, a bijection is a relation between two sets such that each element of either set is paired with exactly one element of the other set. A function is bijective if and only if it is invertible; that is, a function is bijective if and only if there is a function the inverse of f, such that each of the two ways for composing the two functions produces an identity function: for each in and for each in
Мысалы, екіге көбейту бүтін сандардан жұп сандарға биекцияны анықтайды, ал оның кері функциясы екіге бөлу болып табылады. Функция, егер және тек қана инъективті (немесе бір-бірге) және сюръективті (немесе үстінен) болса, биективті болып табылады, яғни кодомендегі әрбір элемент доменнің ең көп дегенде бір элементімен байланыстырылады, ал кодоменнің әрбір элементі доменнің кем дегенде бір элементімен байланыстырылады. Бір-бірге сәйкестік терминін бір-бірге функциямен шатастырмау керек. Санаудың қарапайым амалы, саналған жиынның элементтерінің санына дейін, кейбір шекті жиыннан бірінші жаратылыс сандарына (1, 2, 3, ...) дейін биекцияны құрады. Осыдан келіп, егер олардың арасында биекция болса ғана, екі шекті жиынның элементтерінің саны бірдей болады. Жалпы алғанда, егер олардың арасында биекция болса, екі жиынның бірдей кардиналдық саны бар делінеді. Жиыннан өзіне биективті функцияны пермутация деп те атайды, ал жиынның барлық пермутацияларының жиыны оның симметриялық тобын құрайды. Қосымша қасиеттері бар кейбір биекциялар, атап айтқанда, автоморфизмдер, изоморфизмдер, гомеоморфизмдер, диффеоморфизмдер, пермутациялық топтар және көптеген геометриялық түрлендірулер сияқты арнайы атауларға ие. Галуа сәйкестіктері – математикалық объектілер жиындары арасындағы, сырттай қарағанда өте әртүрлі табиғатқа ие біртұтас байланыстар.
For example, the multiplication by two defines a bijection from the integers to the even numbers, which has the division by two as its inverse function. A function is bijective if and only if it is both injective (or one to one)—meaning that each element in the codomain is mapped to from at most one element of the domain—and surjective (or onto)—meaning that each element of the codomain is mapped to from at least one element of the domain. The term one to one correspondence must not be confused with one to one function. The elementary operation of counting establishes a bijection from some finite set to the first natural numbers (1, 2, 3, ), up to the number of elements in the counted set. It results that two finite sets have the same number of elements if and only if there exists a bijection between them. More generally, two sets are said to have the same cardinal number if there exists a bijection between them. A bijective function from a set to itself is also called a permutation, and the set of all permutations of a set forms its symmetric group. Some bijections with further properties have received specific names, which include automorphisms, isomorphisms, homeomorphisms, diffeomorphisms, permutation groups, and most geometric transformations. Galois correspondences are bijections between sets of mathematical objects of apparently very different nature.
Бейсбол немесе крикет командасының ұрыс топтары
Бейсбол немесе крикет командасының құрамын (немесе кез келген спорт командасының ойыншыларының тізімін қарастырыңыз, онда әр ойыншы белгілі бір орында тұрады). X жиыны – командадағы ойыншылар (бейсболда тоғыз ойыншыдан), ал Y жиыны – соққы беру реті (1-ші, 2-ші, 3-ші, т.б.). Осы ретте қай ойыншының қай орында тұрғаны – "жұптастыру" болып табылады. (1) қасиет орындалады, себебі әр ойыншы тізімде бір орында болады. (2) қасиет орындалады, себебі ең бір ойыншы рет бойынша екі (немесе одан көп) орында соққы бермейді. (3) қасиеттің мәні – реттің әр орынында бір ойыншы соққы береді, ал (4) қасиеттің мәні – тізімдегі бір орында екі немесе одан көп ойыншы соққы бермейді.
Consider the batting line up of a baseball or cricket team (or any list of all the players of any sports team where every player holds a specific spot in a line up). The set X will be the players on the team (of size nine in the case of baseball) and the set Y will be the positions in the batting order (1st, 2nd, 3rd, etc.) The "pairing" is given by which player is in what position in this order. Property (1) is satisfied since each player is somewhere in the list. Property (2) is satisfied since no player bats in two (or more) positions in the order. Property (3) says that for each position in the order, there is some player batting in that position and property (4) states that two or more players are never batting in the same position in the list.
Математикалық мысалдар
Кез келген X жиыны үшін сәйкестік функциясы 1X: X → X, 1X(x) = x биективті. Функция f: R → R, f(x) = 2x + 1 биективті, өйткені әр y үшін f(x) = y теңдігін қанағаттандыратын бірегей x = (y − 1)/2 бар. Жалпы алғанда, нақты сандар жиынындағы кез келген сызықтық функция, f: R → R, f(x) = ax + b (мұнда a нөлге тең емес) биекция болады. Әрбір нақты сан y, x = (y − b)/a нақты санынан алынады (немесе онымен жұпталады). f: R → (−π/2, π/2), f(x) = arctan(x) функциясы биективті, өйткені әр нақты сан x, (−π/2, π/2) аралығындағы дәл бір бұрыш y-мен жұптастырылған, сондықтан tan(y) = x (яғни, y = arctan(x)). Егер кодомен (−π/2, π/2) π/2-нің бүтін еселігін қосу үшін кеңейтілсе, онда бұл функция енді сюръективті болмайды, өйткені бұл арктангенс функциясы арқылы π/2-нің еселігімен жұптастырылатын нақты сан жоқ. Экспоненциалдық функция, g: R → R, g(x) = ex, биективті емес: мысалы, g(x) = −1 теңдігін қанағаттандыратын R жиынында x жоқ, бұл g-нің сюръективті еместігін көрсетеді. Дегенмен, егер кодомен оң нақты сандармен шектелсе, онда g биективті болады; оның кері функциясы (төменде қараңыз) ln – табиғи логарифм функциясы. Функция h: R → R+, h(x) = x2 биективті емес: мысалы, h(−1) = h(1) = 1, бұл h-ның инъективті еместігін көрсетеді. Дегенмен, егер домен шектелсе, онда h биективті болады; оның кері функциясы – оң квадрат түбір функциясы. Шрёдер–Бернштейн теоремасы бойынша, кез келген екі жиынтық X және Y, және екі инъективті функция f: X → Y және g: Y → X берілген болса, онда h: X → Y биективті функциясы бар.
For any set X, the identity function 1X: X → X, 1X(x) = x is bijective. The function f: R → R, f(x) = 2x + 1 is bijective, since for each y there is a unique x = (y − 1)/2 such that f(x) = y. More generally, any linear function over the reals, f: R → R, f(x) = ax + b (where a is non zero) is a bijection. Each real number y is obtained from (or paired with) the real number x = (y − b)/a. The function f: R → (−π/2, π/2), given by f(x) = arctan(x) is bijective, since each real number x is paired with exactly one angle y in the interval (−π/2, π/2) so that tan(y) = x (that is, y = arctan(x)). If the codomain (−π/2, π/2) was made larger to include an integer multiple of π/2, then this function would no longer be onto (surjective), since there is no real number which could be paired with the multiple of π/2 by this arctan function. The exponential function, g: R → R, g(x) = ex, is not bijective: for instance, there is no x in R such that g(x) = −1, showing that g is not onto (surjective). However, if the codomain is restricted to the positive real numbers , then g would be bijective; its inverse (see below) is the natural logarithm function ln. The function h: R → R+, h(x) = x2 is not bijective: for instance, h(−1) = h(1) = 1, showing that h is not one to one (injective). However, if the domain is restricted to , then h would be bijective; its inverse is the positive square root function. By Schröder–Bernstein theorem, given any two sets X and Y, and two injective functions f: X → Y and g: Y → X, there exists a bijective function h: X → Y.
Құрамы
Екі биекцияның құрамы f: X → Y және g: Y → Z – биекция болып табылады, оның кері функциясы берілген. Керісінше, егер екі функцияның құрамы биективті болса, онда тек f инъективті және g сюръективті екенін білдіреді.
The composition of two bijections f: X → Y and g: Y → Z is a bijection, whose inverse is given by is
Conversely, if the composition of two functions is bijective, it only follows that f is injective and g is surjective.
Кардиналдылығы
Егер X және Y жиындары шекті болса, онда X және Y жиындары арасында біекция бар, егер және тек қана егер X және Y жиындарының элементтерінің саны бірдей болса. Шындығында, аксиомалық жиын теориясында бұл "бірдей элемент санының" (эквинумерозиттің) анықтамасы ретінде қабылданады, ал осы анықтаманы шексіз жиындарға кеңейту шексіз жиындардың әртүрлі өлшемдерін ажыратуға мүмкіндік беретін кардинал сан түсінігіне алып келеді.
If X and Y are finite sets, then there exists a bijection between the two sets X and Y if and only if X and Y have the same number of elements. Indeed, in axiomatic set theory, this is taken as the definition of "same number of elements" (equinumerosity), and generalising this definition to infinite sets leads to the concept of cardinal number, a way to distinguish the various sizes of infinite sets.
Категориялық теория
Биекциялар жиынтар мен жиындық функциялар санатындағы изоморфизмдердің өзі болып табылады. Дегенмен, күрделі санаттар үшін биекциялар әрқашан изоморфизмдер бола бермейді. Мысалы, топтар санатында (Grp), морфизмдер топ құрылымын сақтағандықтан гомоморфизмдер болуы керек, сондықтан изоморфизмдер – бұл биективті гомоморфизмдер болып табылатын топ изоморфизмдері.
Bijections are precisely the isomorphisms in the category Set of sets and set functions. However, the bijections are not always the isomorphisms for more complex categories. For example, in the category Grp of groups, the morphisms must be homomorphisms since they must preserve the group structure, so the isomorphisms are group isomorphisms which are bijective homomorphisms.