Кіріспе
Математикада, анықталу аксиомасы (қысқаша AD) – 1962 жылы Ян Мицельский мен Хьюго Штайнхаус енгізген жинақ теориясының мүмкін аксиомасы. Ол ω ұзындығындағы екі ойыншыға арналған белгілі бір топологиялық ойындарға қатысты. AD бойынша, белгілі бір типтегі әрбір ойын анықталған болады; яғни, екі ойыншының бірінің жеңіске жететін стратегиясы бар. Штайнхаус пен Мицельскийдің AD-ға деген ынтасы оның қызықты салдарында болды және AD жинақ теориясының ең кішкентай табиғи моделі L(R)-де дұрыс болуы мүмкін екенін ұсынды, ол таңдау аксиомасының (AC) әлсіз түрін ғана қабылдайды, бірақ барлық нақты және барлық реттік сандарды қамтиды. AD-ның кейбір салдары бұрын Стефан Банах, Станислав Мазур және Мортон Дэвис дәлелдеген теоремалардан туындады. Мицельский мен Станислав Свиерцковский оған тағы бір үлес қосты: AD барлық нақты сандар жиынының Лебег өлшенетінін білдіреді. Кейін Дональд А. Мартин және басқалар, әсіресе сипаттамалық жиын теориясында маңызды нәтижелер дәлелдеді. 1988 жылы Джон Р. Стил мен В. Хью Вуддин ұзақ зерттеуді аяқтады. ℵ0-ға ұқсас санаусыз кардинал сандардың бар екенін болжай отырып, олар Мицельский мен Штайнхаустың AD L(R)-де дұрыс деген болжамын дәлелдеді.
In mathematics, the axiom of determinacy (abbreviated as AD) is a possible axiom for set theory introduced by Jan Mycielski and Hugo Steinhaus in 1962. It refers to certain two person topological games of length ω. AD states that every game of a certain type is determined; that is, one of the two players has a winning strategy. Steinhaus and Mycielski's motivation for AD was its interesting consequences, and suggested that AD could be true in the smallest natural model L(R) of a set theory, which accepts only a weak form of the axiom of choice (AC) but contains all real and all ordinal numbers. Some consequences of AD followed from theorems proved earlier by Stefan Banach and Stanisław Mazur, and Morton Davis. Mycielski and Stanisław Świerczkowski contributed another one: AD implies that all sets of real numbers are Lebesgue measurable. Later Donald A. Martin and others proved more important consequences, especially in descriptive set theory. In 1988, John R. Steel and W. Hugh Woodin concluded a long line of research. Assuming the existence of some uncountable cardinal numbers analogous to ℵ0, they proved the original conjecture of Mycielski and Steinhaus that AD is true in L(R).
Таңдау аксиомасымен үйлесімсіздік
Таңдау аксиомасының дұрыс екенін қабылдасақ, біз анықталу аксиомасына қарсы мысалдардың екі дербес құрастырылуын ұсынамыз. Соның салдарынан, анықталу аксиомасы мен таңдау аксиомасы қақтығысады.
Континуумды жақсы реттеп пайдалану
G ω ойынындағы барлық бірінші ойыншы стратегияларының S1 жиынтығы континууммен бірдей кардиналдылыққа ие. Бұл екінші ойыншы стратегияларының S2 жиынтығы үшін де дұрыс. SG – G-дегі барлық мүмкін тізбектер жиынтығы, ал A – бірінші ойыншының жеңіске жетуіне әкелетін SG тізбектерінің ішкі жиынтығы. Таңдау аксиомасы бойынша континуумымызды реттей аламыз, және кез келген нақты бастапқы бөлігі континуумынан төмен кардиналдылыққа ие болатындай етіп реттей аламыз. Алынған жақсы реттелген J жиынтығын S1 және S2 жиындарын индекстеу үшін пайдаланамыз және A-ны контрмысал ретінде құрастырамыз. A және B жиындарын бос жиындардан бастаймыз. α ∈ J болсын, бұл S1 және S2 жиындарындағы стратегиялардың индексі. Бірінші ойыншының барлық стратегияларын S1 = {s1(α)}α∈J және екінші ойыншының барлық стратегияларын S2 = {s2(α)}α∈J қарастырып, әр стратегия үшін оған қарсы жеңіске жете алатын екінші ойыншының стратегиясы бар екеніне көз жеткізуіміз керек. Кез келген ойыншының қарастырылып отырған стратегиясы үшін екінші ойыншыға жеңіс әкелетін тізбек құрамыз. t – осьінің ұзындығы ℵ0-қа тең және әр ойын тізбегінде қолданылатын уақыт. A контрмысалын α бойынша трансфиниттік рекурсия арқылы жасаймыз:
Бірінші ойыншының s1(α) стратегиясын қарастырайық. Бұл стратегияны ω ойынына қолданып, (бірінші ойыншының s1(α) стратегиясымен бірге) A жиынына жатпайтын ⟨a1, b2, a3, b4, …, at, bt+1, …⟩ тізбегін жасаймыз. Бұл мүмкін, себебі ⟨b2, b4, b6, …⟩ үшін таңдаулардың саны континуумымен бірдей, ал ол J жиынының нақты бастапқы бөлігі {β ∈ J | β < α} жиынының кардиналдығынан үлкен. Бұл тізбекті B жиынына қосып, s1(α) стратегиясының жеңіліске ұшырағанын көрсетеміз (⟨b2, b4, b6, …⟩ бойынша). Екінші ойыншының s2(α) стратегиясын қарастырайық. Бұл стратегияны ω ойынына қолданып, (екінші ойыншының s2(α) стратегиясымен бірге) B жиынына жатпайтын ⟨a1, b2, a3, b4, …, at, bt+1, …⟩ тізбегін жасаймыз. Бұл мүмкін, себебі ⟨a1, a3, a5, …⟩ үшін таңдаулардың саны континуумымен бірдей, ал ол J жиынының нақты бастапқы бөлігі {β ∈ J | β ≤ α} жиынының кардиналдығынан үлкен. Бұл тізбекті A жиынына қосып, s2(α) стратегиясының жеңіліске ұшырағанын көрсетеміз (⟨a1, a3, a5, …⟩ бойынша). S1 және S2 жиындарындағы барлық мүмкін стратегияларды α бойынша трансфиниттік индукция арқылы өңдейміз. Осыдан кейін A немесе B жиындарына жатпайтын барлық тізбектер үшін олардың A немесе B жиындарына жататындығын кездейсоқ анықтаймыз, сонда B жиыны A жиынының толықтырғышы болады. Бұл орындалғаннан кейін G ω ойынына дайындаламыз. Бірінші ойыншының s1 берілген стратегиясы үшін α ∈ J болады, сондықтан s1 = s1(α), және A жиыны s1(α) стратегиясының сәтсіз аяқталуын қамтамасыз етеді (екінші ойыншының ⟨b2, b4, b6, …⟩ белгілі бір таңдаулары бойынша). Осылайша, s1 стратегиясы сәтсіз аяқталады. Сол сияқты, кез келген ойыншының басқа стратегиясы да сәтсіз аяқталады.