Введение
Возможная аксиома теории множеств
В математике аксиома определенности (сокращенно AD) — возможная аксиома теории множеств, предложенная Яном Мицельским и Хьюго Штайнхаусом в 1962 году. Она относится к определенным двум игрокам топологическим играм длины ω. AD утверждает, что каждая игра определенного типа является определенной, то есть у одного из двух игроков есть выигрышная стратегия. Мотивацией для AD у Штайнхауса и Мицельского послужили ее интересные следствия, и они предположили, что AD может быть верна в наименьшей естественной модели L(R) теории множеств, принимающей только слабую форму аксиомы выбора (AC), но содержащей все действительные и все ординальные числа. Некоторые следствия AD вытекали из теорем, доказанных ранее Стефаном Банахом и Станиславом Мазуром, а также Мортоном Дэвисом. Мицельский и Станислав Свирчковский внесли еще одно важное утверждение: AD подразумевает, что все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Позже Дональд А. Мартин и другие доказали более значимые следствия, особенно в описательной теории множеств. В 1988 году Джон Р. Стил и У. Хью Вуддин завершили длительную серию исследований. Предполагая существование некоторых несчетных кардинальных чисел, аналогичных ℵ₀, они доказали первоначальное предположение Мицельского и Штайнхауса о том, что AD верна в L(R).
In mathematics, the axiom of determinacy (abbreviated as AD) is a possible axiom for set theory introduced by Jan Mycielski and Hugo Steinhaus in 1962. It refers to certain two person topological games of length ω. AD states that every game of a certain type is determined; that is, one of the two players has a winning strategy. Steinhaus and Mycielski's motivation for AD was its interesting consequences, and suggested that AD could be true in the smallest natural model L(R) of a set theory, which accepts only a weak form of the axiom of choice (AC) but contains all real and all ordinal numbers. Some consequences of AD followed from theorems proved earlier by Stefan Banach and Stanisław Mazur, and Morton Davis. Mycielski and Stanisław Świerczkowski contributed another one: AD implies that all sets of real numbers are Lebesgue measurable. Later Donald A. Martin and others proved more important consequences, especially in descriptive set theory. In 1988, John R. Steel and W. Hugh Woodin concluded a long line of research. Assuming the existence of some uncountable cardinal numbers analogous to ℵ0, they proved the original conjecture of Mycielski and Steinhaus that AD is true in L(R).
Несовместимость с аксиомой выбора
При допущении аксиомы выбора, мы представляем два различных построения контрпримеров к аксиоме детерминированности. Следовательно, аксиома детерминированности и аксиома выбора несовместимы.
Используя хорошо упорядоченный континуум
Набор S1 всех стратегий первого игрока в ω-игре G имеет ту же кардинальность, что и континуум. То же самое верно и для набора S2 всех стратегий второго игрока. Пусть SG – множество всех возможных последовательностей в G, а A – подмножество последовательностей SG, при которых первый игрок выигрывает. С помощью аксиомы выбора мы можем хорошо упорядочить континуум, причем таким образом, чтобы любая собственная начальная часть имела кардинальность меньше, чем кардинальность континуума. Мы используем полученное хорошо упорядоченное множество J для индексации S1 и S2 и строим A так, чтобы оно являлось контрпримером. Начнем с пустых множеств A и B. Пусть α ∈ J – индекс стратегий в S1 и S2. Нам необходимо рассмотреть все стратегии S1 = {s1(α)}α∈J первого игрока и все стратегии S2 = {s2(α)}α∈J второго игрока, чтобы убедиться, что для каждой стратегии существует стратегия другого игрока, которая выигрывает против неё. Для каждой рассматриваемой стратегии игрока мы сгенерируем последовательность, дающую другому игроку выигрыш. Пусть t – время, ось которого имеет длину ℵ0 и которое используется в ходе каждой игровой последовательности. Мы создаем контрпример A посредством трансфинитной рекурсии по α:
Рассмотрим стратегию s1(α) первого игрока. Примените эту стратегию к ω-игре, генерируя (вместе со стратегией первого игрока s1(α)) последовательность ⟨a1, b2, a3, b4, …, at, bt+1⟩, которая не принадлежит A. Это возможно, поскольку число вариантов для ⟨b2, b4, b6, …⟩ имеет ту же кардинальность, что и континуум, который больше кардинальности собственной начальной части {β ∈ J | β < α} множества J. Добавим эту последовательность в B, чтобы указать, что s1(α) проигрывает (при ⟨b2, b4, b6, …⟩). Рассмотрим стратегию s2(α) второго игрока. Примените эту стратегию к ω-игре, генерируя (вместе со стратегией второго игрока s2(α)) последовательность ⟨a1, b2, a3, b4, …, at, bt+1⟩, которая не принадлежит B. Это возможно, поскольку число вариантов для ⟨a1, a3, a5, …⟩ имеет ту же кардинальность, что и континуум, который больше кардинальности собственной начальной части {β ∈ J | β ≤ α} множества J. Добавим эту последовательность в A, чтобы указать, что s2(α) проигрывает (при ⟨a1, a3, a5, …⟩). Обработаем все возможные стратегии S1 и S2 с помощью трансфинитной индукции по α. Для всех последовательностей, которые после этого не находятся ни в A, ни в B, произвольно решим, принадлежат ли они к A или к B, так чтобы B было дополнением к A. После этого подготовимся к ω-игре G. Для заданной стратегии s1 первого игрока существует α ∈ J, такое что s1 = s1(α), и A было построено таким образом, что s1(α) терпит неудачу (при определенных выборах ⟨b2, b4, b6, …⟩ второго игрока). Следовательно, s1 терпит неудачу. Аналогично, любая другая стратегия любого игрока также терпит неудачу.