Кіріспе
Сандар теориясындағы болжау
Гилбрейттің болжауы – сандар теориясындағы, тізбектелген жай сандарға алдыңғы айырма операторын қолдану және нәтижелерді таңбасыз қалдыру арқылы, содан кейін алынған тізбектегі тізбектелген мүшелерге осы процесті қайталау арқылы туындайтын тізбектерге қатысты болжау. Бұл болжау Норман Л. Гилбрейттің есімімен аталады, ол 1958 жылы арифметикалық есептерді салфеткада жасап жатқанда кездейсоқ үлгіні байқағаннан кейін математикалық қауымдастыққа ұсынды. Бірақ 1878 жылы, Гилбрейттің ашылуына сексен жыл бұрын, Франсуа Прот осыған ұқсас байқауларды, сондай-ақ кейіннен бұрыс екені дәлелденген дәлелдеу әрекетімен бірге жариялаған. Дегенмен, болжау әлі де ашық мәселе болып қалуда. n қатарды бағалаудың орнына, Одлызко 635 қатарды бағалап, 635-ші қатар 1-ден басталып, келесі n сан үшін тек 0 және 2-ден тұратынын анықтады. Бұл келесі n қатар 1 санынан басталатынын көрсетеді.
Gilbreath's conjecture is a conjecture in number theory regarding the sequences generated by applying the forward difference operator to consecutive prime numbers and leaving the results unsigned, and then repeating this process on consecutive terms in the resulting sequence, and so forth. The statement is named after Norman L. Gilbreath who, in 1958, presented it to the mathematical community after observing the pattern by chance while doing arithmetic on a napkin. In 1878, eighty years before Gilbreath's discovery, François Proth had, however, published the same observations along with an attempted proof, which was later shown to be incorrect. but the conjecture remains an open problem. Instead of evaluating n rows, Odlyzko evaluated 635 rows and established that the 635th row started with a 1 and continued with only 0s and 2s for the next n numbers. This implies that the next n rows begin with a 1.
Жалпылау
1980 жылы Мартин Гарднер Галлард Крофттің болжамын жариялады, онда Гилбрейттің болжамының қасиеті (әр айырмашылық тізбегінің бірінші мүшесінде 1 болуы) 2-ден басталатын, одан кейін тек тақ сандарды ғана қамтитын және тізбектегі екі тізбектелген элемент арасындағы айырманың жеткілікті төмен шегі бар кез келген тізбек үшін жалпы жағдайда да орындалуы керек делінген. Бұл болжамды кейінгі авторлар да қайталаған. Дегенмен, бұл жалған: 2 және тақ сандардың кез келген бастапқы тізбегі үшін және тұрақты емес өсу жылдамдығы үшін, тізбекті тақ сандармен жалғастыруға болады, мұндағы айырмалар өсу жылдамдығына бағынады, бірақ айырмашылық тізбектері 1-ден шексіз көп рет бастала алмайды. Ол Гилбрейттің болжамына сенудің кейбір эвристикалық себептерін келтіре отырып, былай дейді: "жоғарыдағы аргументтер бірінші элементі 1, ал қалғандары жұп сандар болатын және тізбектелген элементтер арасындағы айырмалар тым үлкен болмайтын және жеткілікті түрде кездейсоқ болатын көптеген басқа тізбектерге де қатысты". Алайда, ол "жеткілікті түрде кездейсоқ" дегеннің қандай мағынада қолданылатынын нақты түсіндірмейді.