Введение
Гиббратская гипотеза — это гипотеза в теории чисел, касающаяся последовательностей, генерируемых применением оператора конечных разностей к последовательным простым числам с взятием абсолютных значений результатов, и последующим повторением этого процесса для последовательных членов полученной последовательности и так далее. Гипотеза названа в честь Нормана Л. Гилбрата, который в 1958 году представил её математическому сообществу, случайно заметив закономерность при выполнении арифметических вычислений на салфетке. Однако, в 1878 году, за восемьдесят лет до открытия Гилбрата, Франсуа Прот опубликовал те же наблюдения вместе с попыткой доказательства, которая впоследствии оказалась неверной. Тем не менее, гипотеза остаётся нерешённой проблемой. Вместо вычисления n строк, Одлызко вычислил 635 строк и установил, что 635-я строка начинается с 1 и далее содержит только 0 и 2 для следующих n чисел. Это подразумевает, что следующие n строк также начинаются с 1.
Gilbreath's conjecture is a conjecture in number theory regarding the sequences generated by applying the forward difference operator to consecutive prime numbers and leaving the results unsigned, and then repeating this process on consecutive terms in the resulting sequence, and so forth. The statement is named after Norman L. Gilbreath who, in 1958, presented it to the mathematical community after observing the pattern by chance while doing arithmetic on a napkin. In 1878, eighty years before Gilbreath's discovery, François Proth had, however, published the same observations along with an attempted proof, which was later shown to be incorrect. but the conjecture remains an open problem. Instead of evaluating n rows, Odlyzko evaluated 635 rows and established that the 635th row started with a 1 and continued with only 0s and 2s for the next n numbers. This implies that the next n rows begin with a 1.
Обобщения
В 1980 году Мартин Гарднер опубликовал гипотезу Галларда Крофта, утверждавшую, что свойство гипотезы Гилбрета (наличие 1 в первом члене каждой последовательности разностей) должно выполняться в более общем виде для любой последовательности, начинающейся с 2, затем содержащей только нечетные числа и имеющей достаточно малую верхнюю границу для разностей между последовательными элементами. Эта гипотеза также повторялась другими авторами. Однако она неверна: для любой начальной подпоследовательности, состоящей из 2 и нечетных чисел, и для любой неконстантной скорости роста существует продолжение этой подпоследовательности нечетными числами, разности между элементами которой подчиняются заданной скорости роста, но последовательности разностей которой не начинаются с 1 бесконечно часто. Гарднер был более осторожен, говоря о некоторых эвристических основаниях для веры в гипотезу Гилбрета, что "вышеупомянутые аргументы применимы ко многим другим последовательностям, в которых первый элемент равен 1, остальные четные, а разности между последовательными элементами не слишком велики и достаточно случайны". Однако он не дает формального определения понятия "достаточно случайный".