Кіріспе

Математикада Вильгельм Киллингтің есімімен аталған Киллинг векторлық өрісі (жиі Киллинг өрісі деп аталады) – метриканы сақтайтын Римандық көптіктегі (немесе псевдо-Римандық көптіктегі) векторлық өріс. Киллинг өрістері изометриялардың инфинитезималды генераторлары болып табылады; яғни, Киллинг өрістері тудырған ағындар – көптіктің үздіксіз изометриялары. Басқаша айтқанда, ағын симметрияны тудырады, яғни объектінің кез келген нүктесін Киллинг векторінің бағытында бірдей қашықтыққа жылжытқанда объектідегі қашықтықтар өзгермейді.

Дөңгелектегі өлім өрісі

Сағат тіліне қарсы бағытта бағытталған және әр нүктеде бірдей ұзындығы бар шеңбердегі векторлық өріс – өлтіру векторлық өріс болып табылады, себебі шеңбердегі кез келген нүктені осы векторлық өріс бойынша жылжыту шеңберді бұруға әкеледі.

Гиперболалық жазықтықтағы өлім өрістері

Клинген векторлық өрісінің қарапайым мысалы – Поанкаре метрикасымен жабдықталған жоғарғы жарты жазықтықта берілген. Бұл жұп әдетте гиперболалық жазықтық деп аталады және стандартты координаттарды қолдана отырып, Клинген векторлық өрісіне ие. Бұл интуитивті түрде түсінікті болуы керек, себебі ковариантты туынды метриканы векторлық өріс жасаған интегралды қисық бойымен тасымалдайды (оның бейнесі x осіне параллель). Бұдан бөлек, метрика координатадан тәуелсіз, сондықтан осы мақаладағы төмендегі нәтижелердің біреуін пайдаланып, бұл Клинген өрісі екенін бірден қорытындылауға болады. Жоғарғы жарты жазықтық моделінің изометрия тобы (немесе, дәлірек айтқанда, бірлікке байланысты компоненті) (Поанкаре жарты жазықтық моделіне қараңыз), ал қалған екі Клинген өрісі жоғарғы жарты жазықтықтағы топтың генераторларының әрекетін қарастыру арқылы шығарылуы мүмкін. Басқа екі генераторлық Клинген өрісі – кеңею және ерекше конформалдық түрлендіру.

Жалпы салыстырмалылық теориясындағы өлім өрістері

Киллинг өрістері жалпы салыстырмалылық теориясындағы изометрияларды талқылау үшін қолданылады (мұнда гравитациялық өрістер бұзған кеңістік-уақыттың геометриясы 4 өлшемді псевдо-Риманн манифольды ретінде қарастырылады). Уақытпен ештеңе өзгермейтін статикалық конфигурацияда уақыт векторы Киллинг векторы болады, сондықтан Киллинг өрісі уақыт бойынша алға жылжу бағытына бағытталады. Мысалы, Шварцшильд метрикасының төрт Киллинг өрісі бар: метрика , сондықтан ол уақыт тәрізді Киллинг өрісі болып табылады. Қалған үшеуі – жоғарыда талқыланған үш айналу генераторы. Айналатын қара тесік үшін Керр метрикасының тек екі Киллинг өрісі бар: уақыт тәрізді өріс және қара тесіктің айналу осі бойынша айналуды тудыратын өріс. de Sitter кеңістігі және anti de Sitter кеңістігі максимальді симметриялық кеңістіктер болып табылады, олардың өлшемдік нұсқаларының әрқайсысы Киллинг өрістеріне ие.

Геодезиялық

Әрбір Киллинг векторы геодезия бойында сақталатын шамаға сәйкес келеді. Бұл сақталатын шама – Киллинг векторы мен геодезияның жанама векторы арасындағы метрикалық көбейтінді. Аффиндік параметрленген геодезияда, жанама векторы берілгенде, Киллинг векторы бойынша келесі шама сақталады:

Бұл, симметриялы кеңістік-уақыттағы қозғалыстарды аналитикалық түрде зерттеуге көмектеседі.

Жалпылау

Киллинг векторлық өрістер конформды Киллинг өрістеріне дейін жалпылана алады, олар кейбір скалярлық функция φ үшін шартымен анықталады. Конформды түрлендірулердің бір параметрлік отбасыларының туындылары конформды Киллинг өрістері болып табылады. Киллинг тензорлық өрістері – симметриялық тензорлық өрістер T, мұнда симметриялануының ізсіз бөлігі нөлге тең болады. Киллинг тензорларына ие көптемелерге айналмалы қара тесіктер және FRW космологиясы жатады. Киллинг векторлық өрістері, сондай-ақ, метрикасы болмауы мүмкін кез келген M көптемесінде де анықталуы мүмкін, егер изометриялар тобының орнына оған әсер ететін кез келген G Ли тобын қарастырсақ. Бұл кең мағынада, Киллинг векторлық өрісі – G тобының әрекеті арқылы G-дегі оң инвариантты векторлық өрістің итеруі болып табылады. Егер топтық әрекет тиімді болса, онда Киллинг векторлық өрістер кеңістігі G-дің Ли алгебрасына изоморфты болады.