Введение

Векторное поле на римановом многообразии, сохраняющее метрику. В математике, векторное поле Киллинга (часто называемое полем Киллинга), названное в честь Вильгельма Киллинга, — это векторное поле на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии), сохраняющее метрику. Поля Киллинга являются бесконечно малыми генераторами изометрий; то есть потоки, порождаемые полями Киллинга, представляют собой непрерывные изометрии многообразия. Иными словами, поток генерирует симметрию, в том смысле, что перемещение каждой точки объекта на одинаковое расстояние в направлении вектора Киллинга не изменяет расстояния на этом объекте.

Убийственное поле на круге

Векторное поле на окружности, направленное против часовой стрелки и имеющее одинаковую длину в каждой точке, является полем Киллинга, поскольку перемещение каждой точки на окружности вдоль этого поля просто поворачивает окружность.

Убийственные поля на гиперболической плоскости

Игрушечным примером для поля Киллинга служит верхняя полуплоскость, снабженная метрикой Пуанкаре. Пара ( , ) обычно называется гиперболической плоскостью и имеет поле Киллинга (в стандартных координатах). Это должно быть интуитивно понятно, поскольку ковариантная производная переносит метрику вдоль интегральной кривой, порожденной векторным полем (изображение которого параллельно оси x). Более того, метрика не зависит от , из чего мы можем сразу заключить, что является полем Киллинга, используя один из результатов, представленных ниже в этой статье. Изометрическая группа модели верхней полуплоскости (точнее, компоненты, соединенной с единицей) равна (см. модель полуплоскости Пуанкаре), а два других поля Киллинга можно получить, рассматривая действие генераторов на верхней полуплоскости. Два других образующих поля Киллинга — это дилатация и специальное конформное преобразование.

Убийственные поля в общей теории относительности

Поля Киллинга используются для обсуждения изометрий в общей теории относительности (в которой геометрия пространства-времени, искаженная гравитационными полями, рассматривается как 4-мерное псевдориманово многообразие). В статической конфигурации, где ничего не меняется во времени, временной вектор будет являться вектором Киллинга, и, следовательно, поле Киллинга будет направлено в сторону движения вперед во времени. Например, метрика Шварцшильда имеет четыре поля Киллинга: поскольку метрика не зависит от , то является времяподобным полем Киллинга. Остальные три – это три генератора вращений, рассмотренные выше. Метрика Керра для вращающейся чёрной дыры имеет только два поля Киллинга: времяподобное поле и поле, генерирующее вращения вокруг оси вращения чёрной дыры. Пространства де Ситтера и анти-де Ситтера являются максимально симметричными пространствами, причем n-мерные версии каждого из них обладают n полями Киллинга.

Геодезические устройства

Каждый вектор Киллинга соответствует величине, которая сохраняется вдоль геодезических. Эта сохраняющаяся величина является метрическим произведением вектора Киллинга и касательного вектора геодезической. Вдоль аффинно параметризованной геодезической с касательным вектором , при заданном векторе Киллинга , величина сохраняется:

Это помогает аналитически изучать движения в пространстве-времени с симметриями.

Обобщения

Убийственные векторные поля могут быть обобщены до конформных Убийственных векторных полей, определяемых для некоторого скаляра . Производные однопараметрических семейств конформных отображений являются конформными Убийственными полями. Убийственные тензорные поля — это симметричные тензорные поля T, для которых бесследная часть симметризации исчезает. Примеры многообразий, обладающих Убийственными тензорами, включают вращающиеся чёрные дыры и космологию ФРВ. Убийственные векторные поля также могут быть определены на любом многообразии M (возможно, без метрики), если вместо группы изометрий взять любую группу Ли G, действующую на нём. В этом более широком смысле, Убийственное векторное поле — это прямое отображение правого инвариантного векторного поля на G посредством группового действия. Если групповое действие эффективно, то пространство Убийственных векторных полей изоморфно алгебре Ли G.