Кіріспе
Кәдімгі дифференциалдық теңдеу. Математикада Эйлер-Коши теңдеуі, Коши-Эйлер теңдеуі немесе жай ғана Эйлер теңдеуі – өзгеретін коэффициенттері бар сызықтық гомогенді кәдімгі дифференциалдық теңдеу. Оны кейде тең өлшемді теңдеу деп те атайды. Оның ерекше қарапайым тең өлшемді құрылысының арқасында дифференциалдық теңдеуді нақты шешуге болады.
In mathematics, an Euler–Cauchy equation, or Cauchy–Euler equation, or simply Euler's equation is a linear homogeneous ordinary differential equation with variable coefficients. It is sometimes referred to as an equidimensional equation. Because of its particularly simple equidimensional structure, the differential equation can be solved explicitly.
Теңдеу
y(x) белгісіз функциясының n-ші туындысы болсын. Онда n-ретті Коши-Эйлер теңдеуі мына түрде жазылады: . (яғни, ; жағдайында, шешімнің саласын кеңейту үшін барлық жерде мен ауыстыруға болады) бұл теңдеуді тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалдық теңдеуге келтіру үшін қолданылуы мүмкін. Балама ретінде, негізгі шешімдерді тікелей табу үшін сынақ шешімі қолданылуы мүмкін.
The substitution (that is, ; for , one might replace all instances of by , which extends the solution's domain to ) may be used to reduce this equation to a linear differential equation with constant coefficients. Alternatively, the trial solution may be used to directly solve for the basic solutions.
Екінші реттік - дифференциалдық операторларды қолдану арқылы шешу
Екінші реттік Коши-Эйлер теңдеуін сызықтық дифференциалдық оператор ретінде жазуға болатынын байқаңыз, мұнда және – сәйкестік операторы. Жоғарыда көрсетілген операторды көбейтінді түрінде емес, көпмүше түрінде жазамыз. Көбейту ережесі бойынша, .
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain
Осыдан кейін, операторды сызықтық мүшелерге жіктеу үшін квадрат теңдеудің формуласын қолдана аламыз. Нақтырақ айтқанда, – ны (мүмкін тең) мәндерін белгілейік. Онда,
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain
Бұл факторлардың өзгермейтіндігін көруге болады, яғни, . Егер болса, онда теңдеудің шешімі және теңдеулерінің шешімдерінің сызықтық комбинациясы болады, оларды айнымалыларды бөлу арқылы шешуге болады. Шындығында, егер болса, онда бізде бар, сондықтан жалпы шешім .
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain
Егер болса, онда біз шешімін қарастыруымыз керек. белгілейік, сонда біз жаза аламыз. Бұрынғыдай, шешімі мына түрде болады. Сондықтан бізге шешу қалды, содан кейін теңдеуді қайта жазамыз, оны интегралдаушы фактор арқылы шешуге болады. Интегралдаушы фактор ретінде таңдайық. Теңдеуді сол жағынан сол жағына көбейтіп, сол жағын көбейтіндінің туындысы ретінде танысақ, мынаны аламыз.
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain