Кіріспе
Интегралдық есептеуде эллиптік интеграл – бұл Джулио Фагнано мен Леонард Эйлер (шамамен 1750 ж.) алғаш зерттеген, белгілі бір интегралдардың мәні ретінде анықталатын бірнеше байланысты функциялардың бірі. Олардың атауы эллипстің доға ұзындығын табу мәселесімен байланысты туындағандықтан шыққан. Қазіргі заманғы математика "эллиптік интегралды" екі аргументінің рационалды функциясы R, қайталанатын түбірлері жоқ 3 немесе 4 дәрежелі көпмүше P және тұрақты c арқылы өрнектелетін кез келген f функциясы деп анықтайды. Жалпы, осы формадағы интегралдарды элементар функциялар арқылы көрсету мүмкін емес. P қайталанатын түбірлерге ие болса немесе R(x, y) құрамында y-тің тақ дәрежелері болмаса, немесе интеграл псевдоэллиптикалық болса, бұл жалпы ережеден ерекшеліктер бар. Дегенмен, тиісті редукция формуласы арқылы кез келген эллиптік интегралды рационалды функциялар бойынша интегралдарды және үш Лежандрдің канондық формаларын (яғни бірінші, екінші және үшінші түрдегі эллиптік интегралдарды) қамтитын формаға келтіруге болады. Лежандрдің төменде келтірілген формасынан басқа, эллиптік интегралдар Карлсонның симметриялық формасында да өрнектелуі мүмкін. Эллиптік интеграл теориясын тереңірек түсіну үшін Шварц-Кристоффель бейнелеуін зерттеуге болады. Тарихи тұрғыдан алғанда, эллиптік функциялар эллиптік интегралдардың кері функциялары ретінде ашылған.
In integral calculus, an elliptic integral is one of a number of related functions defined as the value of certain integrals, which were first studied by Giulio Fagnano and Leonhard Euler (c. 1750). Their name originates from their originally arising in connection with the problem of finding the arc length of an ellipse. Modern mathematics defines an "elliptic integral" as any function f which can be expressed in the form
where R is a rational function of its two arguments, P is a polynomial of degree 3 or 4 with no repeated roots, and c is a constant. In general, integrals in this form cannot be expressed in terms of elementary functions. Exceptions to this general rule are when P has repeated roots, or when R(x, y) contains no odd powers of y or if the integral is pseudo elliptic. However, with the appropriate reduction formula, every elliptic integral can be brought into a form that involves integrals over rational functions and the three Legendre canonical forms (i. e. the elliptic integrals of the first, second and third kind). Besides the Legendre form given below, the elliptic integrals may also be expressed in Carlson symmetric form. Additional insight into the theory of the elliptic integral may be gained through the study of the Schwarz–Christoffel mapping. Historically, elliptic functions were discovered as inverse functions of elliptic integrals.
Асимптотикалық өрнектер
Бұл жуықтаудың салыстырмалы дәлдігі 3-тен артық, ал тек алғашқы екі мүшені сақтау 0,01 дәлдігімен дұрыс.
Туынды және дифференциалдық теңдеу
Бұл теңдеудің екінші шешімі .