Кіріспе
Реалдық және жорамал бөліктері бар сандар. Математикада кешенді сан — нақты сандарды i деп аталатын нақты элементпен кеңейтетін сандар жүйесінің мүшесі, ол жорамал бірлік деп аталады және ; теңдеуді қанағаттандырады. Кез келген кешенді санды түрінде көрсетуге болады, мұнда a және b — нақты сандар. Жоғарыдағы теңдеуді қанағаттандыратын нақты сан болмағандықтан, Рене Декарт i-ді жорамал сан деп атады. Кешенді сан үшін a — нақты бөлігі, ал b — жорамал бөлігі деп аталады. Кешенді сандар жиыны немесе 'C' таңбасымен белгіленеді. Тарихи номенклатураға қарамастан, "жорамал" кешенді сандар математикалық тұрғыдан нақты сандармен бірдей берік және табиғи әлемді ғылыми тұрғыдан сипаттаудағы негізгі құралдар болып табылады. Кешенді сандар барлық полиномдық теңдеулердің, тіпті нақты сандарда шешімі жоқ теңдеулердің де шешімдерін табуға мүмкіндік береді. Нақтырақ айтқанда, алгебраның негізгі теоремасы нақты немесе кешенді коэффициенттері бар кез келген тұрақты емес полиномдық теңдеудің кешенді сан болатын шешімі бар екенін мәлімдейді. Мысалы, теңдеуінің нақты шешімі жоқ, себебі нақты санның квадраты теріс бола алмайды, бірақ екі нақты емес кешенді шешімі бар: және . Кешенді сандарды қосу, алу және көбейтуді ассоциативтік, коммутативтік және дистрибутивтік заңдармен бірге ережесін қолдану арқылы табиғи түрде анықтауға болады. Кез келген нөлден өзге кешенді сандың көбейтуге кері саны бар. Бұл кешенді сандарды нақты сандардың ішкі өрісі бар өріс етеді. Кешенді сандар сонымен қатар стандартты негіз ретінде екі өлшемді нақты векторлық кеңістікті құрайды. Бұл стандартты негіз кешенді сандарды Картезиялық жазықтыққа айналдырады, ол кешенді жазықтық деп аталады. Бұл кешенді сандар мен олардың операцияларын геометриялық тұрғыдан түсіндіруге мүмкіндік береді, ал керісінше, кейбір геометриялық нысандар мен операцияларды кешенді сандар арқылы көрсетуге болады. Мысалы, нақты сандар кешенді жазықтықтың көлденең осі ретінде бейнеленген нақты түзуді құрайды, ал көбейтінділері тік осьті құрайды. Кешенді санды оның геометриялық полярлық координаттары арқылы да анықтауға болады: радиус кешенді санның абсолюттік шамасы деп аталады, ал оң нақты осьтен бұрыш кешенді санның аргументі деп аталады. Абсолюттік шамасы бірге тең кешенді сандар бірлік шеңберін құрайды. Барлық кешенді сандарға тұрақты кешенді санды қосу кешенді жазықтықтағы жылжуды анықтайды, ал тұрақты кешенді санмен көбейту — нөлдік нүктесінде орталастырылған ұқсастық (абсолюттік шамамен кеңейту және аргументпен бұру). Кешендік конъюгация операциясы — нақты оське қатысты шағылысу симметриясы. Кешенді сандар алгебралық жабық өріс, нақты сандар үстіндегі коммутативтік алгебра және екінші өлшемді Евклидтік векторлық кеңістік болатын бай құрылымды құрайды.
In mathematics, a complex number is an element of a number system that extends the real numbers with a specific element denoted i, called the imaginary unit and satisfying the equation ; every complex number can be expressed in the form , where a and b are real numbers. Because no real number satisfies the above equation, i was called an imaginary number by René Descartes. For the complex number , a is called the real part, and b is called the imaginary part. The set of complex numbers is denoted by either of the symbols or 'C'. Despite the historical nomenclature, "imaginary" complex numbers have a mathematical existence as firm as that of the real numbers, and they are fundamental tools in the scientific description of the natural world. Complex numbers allow solutions to all polynomial equations, even those that have no solutions in real numbers. More precisely, the fundamental theorem of algebra asserts that every non constant polynomial equation with real or complex coefficients has a solution which is a complex number. For example, the equation
has no real solution, because the square of a real number cannot be negative, but has the two nonreal complex solutions and
Addition, subtraction and multiplication of complex numbers can be naturally defined by using the rule along with the associative, commutative, and distributive laws. Every nonzero complex number has a multiplicative inverse. This makes the complex numbers a field with the real numbers as a subfield. The complex numbers also form a real vector space of dimension two, with as a standard basis. This standard basis makes the complex numbers a Cartesian plane, called the complex plane. This allows a geometric interpretation of the complex numbers and their operations, and conversely some geometric objects and operations can be expressed in terms of complex numbers. For example, the real numbers form the real line, which is pictured as the horizontal axis of the complex plane, while real multiples of are the vertical axis. A complex number can also be defined by its geometric polar coordinates: the radius is called the absolute value of the complex number, while the angle from the positive real axis is called the argument of the complex number. The complex numbers of absolute value one form the unit circle. Adding a fixed complex number to all complex numbers defines a translation in the complex plane, and multiplying by a fixed complex number is a similarity centered at the origin (dilating by the absolute value, and rotating by the argument). The operation of complex conjugation is the reflection symmetry with respect to the real axis. The complex numbers form a rich structure that is simultaneously an algebraically closed field, a commutative algebra over the reals, and a Euclidean vector space of dimension two.
Алгебраның негізгі теоремасы
Алгебраның негізгі теоремасы, Карл Фридрих Гаус және Жан ле Ронд д’Алембердің еңбегі, кез келген комплекс сандар (коэффициенттер деп аталады) a0, …, an үшін,
теңдеуінің кем дегенде бір комплекс шешімі z болады, егер жоғары дәрежелі коэффициенттердің кем дегенде біреуі a1, …, an нөлден өзге болса. Бұл қасиет рационал сандар өрісі үшін орындалмайды (x² - 2 көпмүшесінің рационал түбірі жоқ, себебі √2 рационал сан емес) сондай-ақ нақты сандар үшін де (x² + 4 көпмүшесінің нақты түбірі жоқ, себебі кез келген нақты x үшін x-тің квадраты оң болады). Осы фактіге байланысты комплекс сандар өрісі алгебралық жабық өріс деп аталады. Бұл, төменде егжей-тегжейлі сипатталатын, комплекс сандардың көптеген қолданыстарының негізгі тасы болып табылады. Бұл теореманың Лиувилль теоремасы сияқты аналитикалық әдістермен, немесе орамал нүктесі сияқты топологиялық әдістермен, немесе Галуа теориясы мен кез келген нақты көпмүшесінің тақ дәрежелі болған жағдайда кем дегенде бір нақты түбірі болатындығын қолданатын дәлелдемелері бар.
Абстрактіл алгебралық аспектілер
Жоғарыдағы төменгі деңгейдегі анықтамалар, қосу және көбейтуді қоса алғанда, кешенді сандарды дәл сипаттайды, бірақ кешенді сандардың абстрактілі алгебралық құрылымын тікелей көрсететін басқа да, теңдес тәсілдер бар.
Күрделі талдау
Күрделі айнымалылардың функцияларын зерттеу күрделі талдау деп аталады және қолданбалы математикада, сондай-ақ математиканың басқа салаларында зор маңызға ие. Көп жағдайда, нақты талдау немесе тіпті сандар теориясы бойынша тұжырымдарды дәлелдеудің ең оңай жолы күрделі талдау әдістерін қолдану болып табылады (мысалы, жай сандар теоремасын қараңыз). Нақты функциялар көбінесе екі өлшемді графиктер түрінде бейнеленетін болса, күрделі функциялардың төрт өлшемді графиктері болады. Оларды көрсету үшін үш өлшемді графиктің түстерін қолдану арқылы төртінші өлшемді ұсынуға болады, немесе күрделі функцияның күрделі жазықтықты динамикалық түрлендіруін анимациялауға болады.
Күрделі синус және косинус
Триометриялық функциялар синус және косинус, сондай-ақ гиперболалық функциялар sinh және cosh-ты анықтайтын қатарлар күрделі аргументтерге өзгеріссіз көшеді. Басқа тригонометриялық және гиперболалық функциялар үшін, мысалы, тангенс, жағдай сәл қиынрақ, себебі анықтамалық қатарлардың барлық күрделі мәндер үшін жинақталатындығы кепілденбеген. Сондықтан оларды синус, косинус және экспонента арқылы анықтау керек, немесе, эквивалентті түрде, аналитикалық жалғастыру әдісін қолдану қажет.
Қолданбалар
Күрделі сандар көптеген ғылыми салаларда қолданылады, оның ішінде сигналдарды өңдеу, басқару теориясы, электромагнетизм, сұйықтық динамикасы, кванттық механика, картография және діріл талдауы. Кейбір қолданыстары төменде сипатталған. Күрделі түйіндестіру инверсивті геометрияда қолданылады, бұл геометрияның сызыққа қатысты керісуден артық жалпы керісулерді зерттейтін саласы. Электр тізбектерінің желілік талдауында, ең жоғары қуат беру теоремасын іздегенде, эквивалентті кедергіні табу үшін күрделі түйіндестіру пайдаланылады.
Пішіндері
Жазықтықтағы түзу бойында жатпайтын үш нүкте үшбұрыштың пішінін анықтайды. Бұл нүктелерді комплекс жазықтықта орналастырғанда, үшбұрыштың пішіні комплекс арифметикасы арқылы келесідей көрсетіледі:
Үшбұрыштың пішіні аударма немесе кеңейту (сызықтық түрлендіру арқылы) арқылы комплекс жазықтығы түрлендірілгенде өзгермейді, бұл пішін туралы интуитивті ұғымға сәйкес келеді және ұқсастықты сипаттайды. Осылайша әрбір үшбұрыш бір пішінді үшбұрыштардың ұқсастық класына жатады.
Фракталдық геометрия
Мандельброт жиынтығы – комплекс жазықтықта қалыптасқан фракталдың танымал мысалы. Ол, тізбекті шексіз қайталағанда жақындаспайтын әрбір нүктені белгілеу арқылы анықталады. Сол сияқты, Джулия жиынтықтары да осы ережелерге сәйкес келеді, бірақ тек *c* саны тұрақты болатын жағдайларда ғана.
Үшбұрыш
Әрбір үшбұрыштың бірегей Штайнер эллипсі болады – үшбұрыштың ішінде орналасқан және үшбұрыштың үш қабырғасының орта нүктелеріне жанасатын эллипс. Үшбұрыштың Штайнер эллипсінің фокустары Марден теоремасы бойынша келесідей табылады: Үшбұрыштың төбелерін комплекс жазықтықта 1=a = xA + yAi, 1=b = xB + yBi және 1=c = xC + yCi деп белгілейік. Кубтық теңдеуді жазып, оның туындысын шығарып, (квадраттық) туындысын нөлге теңеңіз. Марден теоремасы бойынша, осы теңдеудің шешімдері – Штайнер эллипсінің екі фокусының орналасқан жерін көрсететін комплекс сандар болады.
Алгебралық сандар теориясы
Жоғарыда айтылғандай, кез келген тұрақты емес полиномиалдық теңдеудің (кешенді коэффициенттері бар) шешімі бар. Егер теңдеуде рационалдық коэффициенттер болса, бұл да дұрыс. Мұндай теңдеулердің түбірлері алгебралық сандар деп аталады – олар алгебралық сандар теориясының негізгі зерттеу нысаны болып табылады. салыстырғанда, алгебралық жабылу, ол да барлық алгебралық сандарды қамтиды, геометриялық тұрғыдан оңай түсінілу артықшылығына ие. Осылайша алгебралық әдістер геометриялық сұрақтарды зерттеу үшін де, керісінше де қолданылуы мүмкін. Алгебралық әдістерді пайдалана отырып, әсіресе өріс теориясының құралдарын бірлік түбірлерін қамтитын сан өрісіне қолдану арқылы, тек циркуль мен сызғыш көмегімен дұрыс тоғызбұрыш салу мүмкін емес екенін көрсетуге болады – бұл таза геометриялық мәселе. Тағы бір мысал – Гаусс бүтін сандары; яғни, x + iy түріндегі сандар, мұнда x және y – бүтін сандар, оларды квадраттар қосындысын жіктеу үшін қолдануға болады.
Талдау сан теориясы
Аналитикалық сандар теориясы сандарды, көбінесе бүтін немесе рационал сандарды, оларды комплекс сандар ретінде қарастыру мүмкіндігін пайдаланып зерттейді, сонда аналитикалық әдістер қолданылады. Бұл, сандар теориясы туралы ақпаратты комплекс мәнді функцияларға түрлендіру арқылы іске асырылады. Мысалы, Риманның ζета функциясы ζ(s) жай сандардың таралуымен байланысты.
Қате интегралдар
Қолданбалы салаларда күрделі сандар, күрделі мәнді функциялардың көмегімен, кейбір нақты мәнді бұрыс интегралдарды есептеу үшін жиі қолданылады. Мұны істеудің бірнеше әдісі бар; контурлық интеграциялау әдістеріне қараңыз.
Динамикалық теңдеулер
Дифференциалдық теңдеулерде, сызықтық дифференциалдық теңдеудің немесе теңдеулер жүйесінің сипаттамалық теңдеуінің барлық кешенді түбірлерін r анықтау әдеттегідей, содан кейін жүйені 1=f(t) = e^(rt) түріндегі негізгі функциялар арқылы шешуге тырысады. Сол сияқты, айырмашылық теңдеулерде айырмашылық теңдеулер жүйесінің сипаттамалық теңдеуінің кешенді түбірлері r қолданылады, жүйені 1=f(t) = r^t түріндегі негізгі функциялар арқылы шешу мақсатында.
Сызықтық алгебра
Алгебралық жабық болғандықтан, кез келген бос емес комплекс квадрат матрицасында кем дегенде бір (комплекс) өзіндік мән болады. Қарама-қарсылығы, нақты матрицалардың әрқашан нақты өзіндік мәндері бола бермейді, мысалы, айналу матрицалары (жазықтықты 0° немесе 180° емес бұрыштарда айналдыру үшін) ешқандай бағытты өзгерте алмайды, сондықтан нақты өзіндік мәндері жоқ. (Комплекс) өзіндік мәндердің болуы және одан туындайтын өзіндік жіктеу матрицалық дәрежелерді және матрицалық экспоненталарды есептеу үшін пайдалы құрал болып табылады. Комплекс сандар көбінесе бастапқыда нақты сандарда қалыптасқан түсініктерді кеңейтеді. Мысалы, конъюгатты транспозиция транспозицияны кеңейтеді, гермиттік матрицалар симметриялық матрицаларды, ал унитарлық матрицалар ортогональды матрицаларды кеңейтеді.
Сұйықтық динамикасы
Сұйықтық динамикасында күрделі функциялар екі өлшемді ағындағы потенциалды ағынды сипаттауға қолданылады.
Кванттық механика
Күрделі сандар өрісі кванттық механиканың математикалық тұжырымдамаларының ажырамас бөлігі болып табылады, онда күрделі Гильберт кеңістіктері осыған ұқсас, ыңғайлы және, мүмкін, ең қалыпты тұжырымдама үшін контекстті қамтамасыз етеді. Кванттық механиканың бастапқы негізгі формулалары – Шредингер теңдеуі және Гейзенбергтің матрицалық механикасы – күрделі сандарды қолданады.
Салыстырмалылық
Арнайы және жалпы салыстырмалылық теорияларында, егер уақыт-кеңістіктегі уақыт компонентін жомыр (көмескі) сан етіп алсақ, уақыт-кеңістіктегі метриканың кейбір формулалары оңайлатылады. (Бұл тәсіл классикалық салыстырмалылық теориясында қазіргі кезде қолданылмайды, бірақ кванттық өріс теориясында маңызды рөл атқарады.) Комплексті сандар спинорлар үшін өте қажет, ал спинорлар – салыстырмалылық теориясында қолданылатын тензорлардың кеңейтілген түрі.
Тарихи сілтемелер
Күрделі сандар тарихына және күрделі талдаудың бастапқы кезеңдеріне жеңіл кіріспе. Сан түсінігінің тарихи дамуына кеңейтілген көзқарас.