Кіріспе
Теңдікті білдіретін математикалық формула. Математикада теңдеу – екі өрнектің теңдігін тең белгісімен байланыстыра көрсетілетін математикалық формула. "Теңдеу" сөзі және оның басқа тілдердегі туыс сөздердің мағынасы сәл өзгеше болуы мүмкін; мысалы, француз тілінде теңдеу бір немесе бірнеше айнымалыны қамтиды деп анықталады, ал ағылшын тілінде тең белгісімен байланысты екі өрнектен тұратын кез келген дұрыс құрылған формула теңдеу болып саналады. Айырмалыларды қамтитын теңдеуді шешу – теңдікті дұрыс ететін айырмалылардың қандай мәндерін анықтаудан тұрады. Теңдеуді шешуге қатысты айнымалылар "белгісіздер" деп те аталады, ал теңдікті қанағаттандыратын белгісіздердің мәндері – теңдеудің "шешімдері" деп аталады. Теңдеулердің екі түрі бар: толық теңдіктер және шартты теңдеулер. Толық теңдік барлық айырмалылардың мәндері үшін дұрыс. Шартты теңдеу тек айырмалылардың белгілі бір мәндері үшін ғана дұрыс. Кез келген теңдеуде кездесетін "=" белгісін 1557 жылы Роберт Рекорд ойлап тапқан, ол тең ұзындықтағы параллель түзулерден артық ештеңе тең бола алмайды деп есептеген. Мысалы,
In mathematics, an equation is a mathematical formula that expresses the equality of two expressions, by connecting them with the equals sign The word equation and its cognates in other languages may have subtly different meanings; for example, in French an équation is defined as containing one or more variables, while in English, any well formed formula consisting of two expressions related with an equals sign is an equation. Solving an equation containing variables consists of determining which values of the variables make the equality true. The variables for which the equation has to be solved are also called unknowns, and the values of the unknowns that satisfy the equality are called solutions of the equation. There are two kinds of equations: identities and conditional equations. An identity is true for all values of the variables. A conditional equation is only true for particular values of the variables. The "=" symbol, which appears in every equation, was invented in 1557 by Robert Recorde, who considered that nothing could be more equal than parallel straight lines with the same length. For example,
are parametric equations for the unit circle, where t is the parameter. Together, these equations are called a parametric representation of the curve. The notion of parametric equation has been generalized to surfaces, manifolds and algebraic varieties of higher dimension, with the number of parameters being equal to the dimension of the manifold or variety, and the number of equations being equal to the dimension of the space in which the manifold or variety is considered (for curves the dimension is one and one parameter is used, for surfaces dimension two and two parameters, etc. ).
параметрлік теңдеулер бірлік шеңберді көрсетеді, мұнда t – параметр. Бұл теңдеулер бірге қисықтың параметрлік бейнесі деп аталады. Параметрлік теңдеу түсінігі жоғары өлшемді беттерге, көптүрліліктерге және алгебралық түрлерге жалпыланды, параметрлер саны көптүрліліктің немесе түрдің өлшемдеріне тең, ал теңдеулер саны көптүрлілік немесе түр қарастырылатын кеңістіктің өлшемдеріне тең (қисықтар үшін өлшем бір және бір параметр қолданылады, беттер үшін екі өлшем және екі параметр, және т.б.).
In mathematics, an equation is a mathematical formula that expresses the equality of two expressions, by connecting them with the equals sign The word equation and its cognates in other languages may have subtly different meanings; for example, in French an équation is defined as containing one or more variables, while in English, any well formed formula consisting of two expressions related with an equals sign is an equation. Solving an equation containing variables consists of determining which values of the variables make the equality true. The variables for which the equation has to be solved are also called unknowns, and the values of the unknowns that satisfy the equality are called solutions of the equation. There are two kinds of equations: identities and conditional equations. An identity is true for all values of the variables. A conditional equation is only true for particular values of the variables. The "=" symbol, which appears in every equation, was invented in 1557 by Robert Recorde, who considered that nothing could be more equal than parallel straight lines with the same length. For example,
are parametric equations for the unit circle, where t is the parameter. Together, these equations are called a parametric representation of the curve. The notion of parametric equation has been generalized to surfaces, manifolds and algebraic varieties of higher dimension, with the number of parameters being equal to the dimension of the manifold or variety, and the number of equations being equal to the dimension of the space in which the manifold or variety is considered (for curves the dimension is one and one parameter is used, for surfaces dimension two and two parameters, etc. ).
Диофантилік теңдеулер
Диофантилік теңдеу – екі немесе одан көп белгісізі бар полиномиалдық теңдеу, онда тек бүтін сандық шешімдер ізделеді (бүтін сандық шешім – барлық белгісіздері бүтін сандық мәндерді қабылдайтын шешім). Сызықтық Диофантилік теңдеу – нөл немесе бірінші дәрежелі мономиалдардың екі қосындысынан тұратын теңдеу. Сызықтық Диофантилік теңдеудің мысалы: ax + by = c, мұнда a, b және c тұрақты шамалар. Диофантилік экспоненциалдық теңдеу – теңдеудің мүшелерінің көрсеткіштері белгісіздер бола алатын теңдеу. Диофантилік проблемаларда белгісіз айнымалылар саны теңдеулер санынан көп болады, және барлық теңдеулер үшін дұрыс болатын бүтін сандарды табу қажет. Техникалық тұрғыдан алғанда, олар алгебралық қисық сызықты, алгебралық бетті немесе одан да жалпы нысанды анықтайды және олардың торлық нүктелерін анықтауға қатысты сұрақтар туындайды. "Диофантилік" термині 3-ші ғасырдың грек математигі Александриялық Диофантқа сілтеме жасайды, ол осындай теңдеулерді зерттеген және алгебраға символизмді енгізген алғашқы математиктердің бірі болды. Диофант бастаған диофантилік проблемалардың математикалық зерттеуі қазір диофантилік талдау деп аталады.
Алгебралық және трансценденттік сандар
Алгебралық сан — рационалдық коэффициенттері бар бір айнымалыдағы нөлдік емес полиномдық теңдеудің шешімі (немесе, эквивалентті түрде — атаушыларды жою арқылы — бүтін коэффициенттері бар). Алгебралық емес сандар трансцендентті сандар деп аталады. Нақты және комплекс сандардың көп бөлігі трансцендентті болып табылады.
Алгебралық геометрия
Алгебралық геометрия – математиканың полиномдық теңдеулердің шешімдерін дәстүрлі түрде зерттейтін саласы. Қазіргі алгебралық геометрия абстрактілік алгебраның, әсіресе коммутативтік алгебраның көбірек абстрактілі әдістеріне негізделген, геометрияның тілі мен мәселелерін пайдаланады. Алгебралық геометрияның негізгі зерттеу нысандары – алгебралық сорттар, олар полиномдық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің геометриялық көрінісі болып табылады. Алгебралық сорттардың ең көп зерттелген классларының мысалдары: жазықтық алгебралық қисықтар, оларға түзулер, шеңберлер, параболалар, эллипстер, гиперболалар, эллиптік қисықтар сияқты кубикалық қисықтар және лемнискаттар, Кассини овалдары сияқты квартикалық қисықтар жатады. Жазықтықтың нүктесі, егер оның координаттары белгілі бір полиномдық теңдеуді қанағаттандырса, алгебралық қисыққа жатады. Негізгі сұрақтар ерекше қызығушылық тудыратын нүктелерді, мысалы, ерекше нүктелерді, иіс нүктелерін және шексіз нүктелерді зерттеуді қамтиды. Күрделірек сұрақтар қисықтың топологиясын және әртүрлі теңдеулермен берілген қисықтар арасындағы байланыстарды қамтиды.
Дифференциалдық теңдеулер
Дифференциалдық теңдеу – математикалық теңдеу, ол белгілі бір функцияны оның туындыларымен байланыстырады. Қолданыста функциялар көбінесе физикалық шамаларды көрсетеді, туындылары олардың өзгеру жылдамдығын көрсетеді, ал теңдеу осы екеуі арасындағы қатынасты анықтайды. Олар функцияның туындылары жоқ түріндегі өрнегін табу арқылы шешіледі. Дифференциалдық теңдеулер өзгеріп отыратын шаманың өзгеру жылдамдығын қамтитын процестерді модельдеу үшін қолданылады және физика, химия, биология және экономика сияқты салаларда қолданылады. Таза математикада дифференциалдық теңдеулер түрлі көзқараспен зерттеледі, көбінесе олардың шешімдеріне – теңдеуді қанағаттандыратын функциялар жиынына қатысты. Тек ең қарапайым дифференциалдық теңдеулер ғана нақты формулалармен шешіледі; бірақ, берілген дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің кейбір қасиеттерін олардың нақты түрін табудың қажеті болмастан анықтауға болады. Егер шешімге арналған жеке формула болмаса, шешім компьютерлерді пайдалану арқылы сандық түрде жуықталуы мүмкін. Динамикалық жүйелер теориясы дифференциалдық теңдеулермен сипатталған жүйелердің сапалық талдауына ерекше мән береді, ал шешімдерді белгілі бір дәлдікпен анықтау үшін көптеген сандық әдістер әзірленген.
Кәдімгі дифференциалдық теңдеулер
Кәдімгі дифференциалдық теңдеу немесе ОДЕ – бір тәуелсіз айнымалының функциясы және оның туындыларын қамтитын теңдеу. "Кәдімгі" термині бірнеше тәуелсіз айнымалыға қатысты болатын ішінара дифференциалдық теңдеулермен салыстырылады. Қосылып, коэффициенттерге көбейтілген шешімдері болатын сызықтық дифференциалдық теңдеулер жақсы анықталған және түсінікті, сондай-ақ дәл жабық түрдегі шешімдерге ие. Ал аддитивті шешімдері жоқ ОДЕ-лер сызықтық емес, оларды шешу әлдеқайда қиын, себебі оларды жабық түрдегі элементарлық функциялар арқылы көбінесе көрсету мүмкін емес: ОДЕ-лердің нақты және аналитикалық шешімдері қатарлар немесе интегралдар түрінде болады. Графикалық және сандық әдістер, қолмен немесе компьютер арқылы қолданылатын, ОДЕ-лердің шамамен шешімдерін табуға және пайдалы ақпарат беруге мүмкіндік береді, бұл нақты аналитикалық шешімдердің болмаған жағдайында жеткілікті болады.
Қиссалық дифференциалдық теңдеулер
Ішінара дифференциалдық теңдеу (ИДТ) – белгісіз көп айнымалы функциялар мен олардың ішінара туындыларын қамтитын дифференциалдық теңдеу. (Бұл бір ғана айнымалының функциялары мен олардың туындыларын зерттейтін қарапайым дифференциалдық теңдеулерден өзгеше.) ИДТ бірнеше айнымалыға тәуелді функциялармен байланысты мәселелерді формулирлеу үшін қолданылады және олар қолмен шешіледі немесе тиісті компьютерлік модель құруға пайдаланылады. ИДТ дыбыс, жылу, электростатика, электродинамика, сұйық ағыны, серпімділік немесе кванттық механика сияқты кең ауқымды құбылыстарды сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Бұл көрінетіндей әртүрлі физикалық құбылыстар ИДТ арқылы ұқсас түрде формалдануы мүмкін. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер көбінесе бір өлшемді динамикалық жүйелерді модельдегендей, ішінара дифференциалдық теңдеулер көбінесе көп өлшемді жүйелерді модельдейді. ИДТ-лердің жалпылама түрі – стохастикалық ішінара дифференциалдық теңдеулерде кездеседі.