Введение
Обычное дифференциальное уравнение
В математике уравнение Эйлера — Коши (или уравнение Коши — Эйлера, или просто уравнение Эйлера) — это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Иногда его называют уравнением с одинаковой размерностью. Благодаря своей особенно простой структуре с одинаковой размерностью, это дифференциальное уравнение может быть решено аналитически.
In mathematics, an Euler–Cauchy equation, or Cauchy–Euler equation, or simply Euler's equation is a linear homogeneous ordinary differential equation with variable coefficients. It is sometimes referred to as an equidimensional equation. Because of its particularly simple equidimensional structure, the differential equation can be solved explicitly.
Уравнение
Пусть – n-я производная неизвестной функции y(x). Тогда уравнение Коши–Эйлера порядка n имеет вид
Подстановка (то есть, ; для можно заменить все вхождения на , что расширяет область определения решения до ) может быть использована для приведения этого уравнения к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Альтернативно, можно использовать предполагаемое решение для непосредственного нахождения основных решений.
Второй порядок - решение с использованием дифференциальных операторов
Обратите внимание, что уравнение Коши-Эйлера второго порядка можно записать в терминах линейного дифференциального оператора как, где и является оператором тождества. Мы выражаем данный оператор как многочлен от , а не от . По правилу произведения, .
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain
Затем мы можем использовать квадратную формулу для разложения этого оператора на линейные множители. В частности, пусть обозначают (возможно, равные) значения . Тогда,
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain
Можно видеть, что эти множители коммутируют, то есть . Следовательно, если , то решение уравнения является линейной комбинацией решений уравнений и , которые могут быть решены методом разделения переменных. Действительно, при , имеем . Таким образом, общее решение равно .
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain
Если , то вместо этого необходимо рассмотреть решение уравнения . Пусть , чтобы можно было записать . Как и прежде, решение имеет вид . Таким образом, остается решить . Затем перепишем уравнение как, которое можно распознать как уравнение, разрешимое с помощью интегрирующего множителя. Выберем в качестве интегрирующего множителя. Умножив уравнение на и заметив, что левая часть является производной произведения, получим:
We can then use the quadratic formula to factor this operator into linear terms. More specifically, let denote the (possibly equal) values of Then,
It can be seen that these factors commute, that is, Hence, if , the solution to is a linear combination of the solutions to each of and , which can be solved by separation of variables. Indeed, with , we have So, Thus the general solution is
If , then we instead need to consider the solution of Let , so that we can write As before, the solution of is of the form So, we are left to solve We then rewrite the equation as which one can recognize as being amenable to solution via an integrating factor. Choose as our integrating factor. Multiplying our equation through by and recognizing the left hand side as the derivative of a product, we then obtain