Бөлінгіштердің ең үлкен ортақ делиті және Безу теоремасы
Bézout's identity
Бөзу теоремасы: екі санның ең үлкен ортақ бөлгіші, Безу коэффициенттері, ең үлкен ортақ бөлгішті табу алгоритмі. Математика, арифметика, сандар теориясы.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екі сан мен олардың ең үлкен ортақ бөлгішін байланыстыру. Арифметикадағы Безу теоремасы
Relating two numbers and their greatest common divisor
Bézout's theorem in arithmetic
Математикада Безу сәйкестігі (Безу леммасы деп те аталады), оны полиномдар үшін дәлелдеген Этьен Безудың есімімен аталған, келесі теореманы білдіреді:
In mathematics, Bézout's identity (also called Bézout's lemma), named after Étienne Bézout who proved it for polynomials, is the following theorem:
Мұнда 0 мен 0-дің ең үлкен ортақ бөлгіші 0 деп есептеледі. x және y бүтін сандары (a, b) үшін Безу коэффициенттері деп аталады; олар бірегей емес. Безу коэффициенттерінің жұбы кеңейтілген Евклид алгоритмі арқылы есептелуі мүмкін, және бұл жұп бүтін сандар жағдайында екі жұптың бірі болып табылады, яғни және ; теңдік тек қана a және b сандарының бірі екіншісінің еселігі болған жағдайда ғана орын алады. Мысалы, 15 және 69 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 3-ке тең, және 3 санын 15 және 69 сандарының комбинациясы ретінде 1=3 = 15 × (−9) + 69 × 2 түрінде жазуға болады, мұнда Безу коэффициенттері -9 және 2 болып табылады. Элементар сандар теориясындағы Евклид леммасы немесе қытайлық қалдық теоремасы сияқты көптеген басқа теоремалар Безу сәйкестігінен туындайды. Безу домені – Безу сәйкестігі орындалатын интегралды домен. Атап айтқанда, Безу сәйкестігі негізгі идеалдық домендерде орындалады. Безу сәйкестігінен туындайтын әрбір теорема барлық негізгі идеалдық домендерде дұрыс болады.
Here the greatest common divisor of 0 and 0 is taken to be 0. The integers x and y are called Bézout coefficients for (a, b); they are not unique. A pair of Bézout coefficients can be computed by the extended Euclidean algorithm, and this pair is, in the case of integers one of the two pairs such that and ; equality occurs only if one of a and b is a multiple of the other. As an example, the greatest common divisor of 15 and 69 is 3, and 3 can be written as a combination of 15 and 69 as 1=3 = 15 × (−9) + 69 × 2, with Bézout coefficients −9 and 2. Many other theorems in elementary number theory, such as Euclid's lemma or the Chinese remainder theorem, result from Bézout's identity. A Bézout domain is an integral domain in which Bézout's identity holds. In particular, Bézout's identity holds in principal ideal domains. Every theorem that results from Bézout's identity is thus true in all principal ideal domains.
Мысал
1=a = 12 және 1=b = 42 болса, онда 1=gcd (12, 42) = 6. Содан кейін келесі Безу теңдіктері алынады, Безу коэффициенттері ең кішкентай жұптар үшін қызыл түсте, ал қалғандары үшін көк түсте жазылған. Егер 1=(x, y) = (18, −5) - бастапқы Безу коэффициенттері жұбы болса, онда 1=k = 2, тиісінше 1=k = 3 арқылы ең кішкентай жұптар табылады; яғни 1=(18 − 2 ⋅ 7, −5 + 2 ⋅ 2) = (4, −1), және 1=(18 − 3 ⋅ 7, −5 + 3 ⋅ 2) = (−3, 1).
Let 1=a = 12 and 1=b = 42, then 1=gcd (12, 42) = 6. Then the following Bézout's identities are had, with the Bézout coefficients written in red for the minimal pairs and in blue for the other ones. If 1=(x, y) = (18, −5) is the original pair of Bézout coefficients, then yields the minimal pairs via 1=k = 2, respectively 1=k = 3; that is, 1=(18 − 2 ⋅ 7, −5 + 2 ⋅ 2) = (4, −1), and 1=(18 − 3 ⋅ 7, −5 + 3 ⋅ 2) = (−3, 1).
Тарих
Француз математигі Этьен Безо (1730–1783) көпмүшелер үшін осы тепе-теңдікті дәлелдеді. Бұл тұжырым бүтін сандар үшін француз математигі Клод Гаспард Баше де Мезиряк (1581–1638) еңбегінде кездеседі.
French mathematician Étienne Bézout (1730–1783) proved this identity for polynomials. This statement for integers can be found already in the work of an earlier French mathematician, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).