Кіріспе
Кванттық механика мен функционалдық талдаудағы математикалық операторлық шама өлшемі. Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, проекциялық шамамен өлшем (немесе спектрлік өлшем) – бұл белгіленген жиынның белгілі бір ішкі жиындарында анықталған және оның шамалары белгіленген Гильберт кеңістігіндегі өзіне-өзі қосымша проекциялар болып табылады. Проекциялық шамамен өлшем (PVM) формальды түрде нақты шамамен өлшемге ұқсас, бірақ оның шамалары нақты сандар емес, өзіне-өзі қосымша проекциялар болып табылады. Қалыпты өлшемдердегідей, PVM-ге қатысты кешенді шамамен функцияларды интегралдауға болады; мұндай интегралдаудың нәтижесі берілген Гильберт кеңістігіндегі сызықтық оператор болады. Проекциялық шамамен өлшемдер спектрлік теориядағы нәтижелерді, мысалы, өзіне-өзі қосымша операторлар үшін маңызды спектрлік теореманы беруге қолданылады, онда PVM кейде спектрлік өлшем деп аталады. Өзіне-өзі қосымша операторлар үшін Борель функционалдық есебі PVM-ге қатысты интегралдарды пайдалану арқылы құрастырылады. Кванттық механикада PVM – проекциялық өлшеулердің математикалық сипаттамасы. Олар оң операторлық шамамен өлшемдер (POVM) арқылы жалпыланады, бұл аралас күй немесе тығыздық матрицасы таза күй ұғымын жалпылайды деген мағынада.
In mathematics, particularly in functional analysis, a projection valued measure (or spectral measure) is a function defined on certain subsets of a fixed set and whose values are self adjoint projections on a fixed Hilbert space. A projection valued measure (PVM) is formally similar to a real valued measure, except that its values are self adjoint projections rather than real numbers. As in the case of ordinary measures, it is possible to integrate complex valued functions with respect to a PVM; the result of such an integration is a linear operator on the given Hilbert space. Projection valued measures are used to express results in spectral theory, such as the important spectral theorem for self adjoint operators, in which case the PVM is sometimes referred to as the spectral measure. The Borel functional calculus for self adjoint operators is constructed using integrals with respect to PVMs. In quantum mechanics, PVMs are the mathematical description of projective measurements. They are generalized by positive operator valued measures (POVMs) in the same sense that a mixed state or density matrix generalizes the notion of a pure state.
Спектрлік теорема
Бөлінетін күрделі Гильберт кеңістігі, шектелген өзін-өзі қосатын оператор және оның спектрі болсын. Спектрлік теоремаға сәйкес, Борелдің кез келген кіші жиынында анықталған, бірегей проекциялық өлшем бар, осындай:
мұнда интеграл спектр шексіз болған жағдайда, шексіз функцияға дейін жалғастырылады.
Жалпылау
Проекциялық бағаланған өлшем идеясы оң операторлық бағаланған өлшем (POVM) арқылы кеңейтіледі, онда проекция операторларының талап ететін ортогоналдылығы бірліктің ортогоналды емес бөлінісін құрайтын операторлар жиынтығының идеясымен алмастырылады. Бұл кеңейту кванттық ақпарат теориясы саласындағы қолданыстармен шақырылған.