Введение
Математическая мера, представляющая значение оператора, важная в квантовой механике и функциональном анализе. В математике, особенно в функциональном анализе, проекционнозначная мера (или спектральная мера) – это функция, определенная на определенных подмножествах фиксированного множества, значениями которой являются самосопряженные проекции в фиксированном гильбертовом пространстве. Проекционнозначная мера (ПЗМ) формально аналогична мере с вещественными значениями, за исключением того, что ее значениями являются самосопряженные проекции, а не вещественные числа. Как и в случае обычных мер, можно интегрировать комплекснозначные функции по ПЗМ; результатом такого интегрирования является линейный оператор в заданном гильбертовом пространстве. Проекционнозначные меры используются для формулировки результатов в спектральной теории, таких как важная спектральная теорема для самосопряженных операторов, в этом случае ПЗМ иногда называют спектральной мерой. Борелевское функциональное исчисление для самосопряженных операторов строится с использованием интегралов по ПЗМ. В квантовой механике ПЗМ являются математическим описанием проективных измерений. Они обобщаются положительнозначными мерами операторов (POVM) в том же смысле, в котором смешанное состояние или матрица плотности обобщают понятие чистого состояния.
In mathematics, particularly in functional analysis, a projection valued measure (or spectral measure) is a function defined on certain subsets of a fixed set and whose values are self adjoint projections on a fixed Hilbert space. A projection valued measure (PVM) is formally similar to a real valued measure, except that its values are self adjoint projections rather than real numbers. As in the case of ordinary measures, it is possible to integrate complex valued functions with respect to a PVM; the result of such an integration is a linear operator on the given Hilbert space. Projection valued measures are used to express results in spectral theory, such as the important spectral theorem for self adjoint operators, in which case the PVM is sometimes referred to as the spectral measure. The Borel functional calculus for self adjoint operators is constructed using integrals with respect to PVMs. In quantum mechanics, PVMs are the mathematical description of projective measurements. They are generalized by positive operator valued measures (POVMs) in the same sense that a mixed state or density matrix generalizes the notion of a pure state.
Спектральная теорема
Пусть H — разделяемое комплексное гильбертово пространство, A — ограниченный самосопряжённый оператор, а σ(A) — его спектр. Тогда спектральная теорема утверждает, что существует единственная проекционно-значная мера E, определённая на борелевском подмножестве, такая что
где интеграл расширяется на неограниченную функцию, когда спектр оператора A неограничен.
Обобщения
Идея проекционнозначной меры обобщается положительнозначной мерой операторов (POVM), где требование ортогональности, вытекающее из использования проекционных операторов, заменяется представлением о наборе операторов, образующих неортогональное разбиение единицы. Это обобщение обусловлено приложениями в квантовой теории информации.