Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Фрактал жанама шеңберлерден құралған.
Fractal composed of tangent circles
Математикада Аполлон тығыздауы немесе Аполлон торы – бір-біріне жанасқан үш шеңберден басталып, одан кейін басқа үш шеңберге жанасқан шеңберлерді тізбектей толтыру арқылы жасалатын фрактал. Ол грек математигі Аполлоний Пергскийдің құрметіне аталған.
In mathematics, an Apollonian gasket or Apollonian net is a fractal generated by starting with a triple of circles, each tangent to the other two, and successively filling in more circles, each tangent to another three. It is named after Greek mathematician Apollonius of Perga.
Симметриялар
Ұшақтың Мёбиус түрлендірулері шеңберлердің пішіндерін және жанасуларын сақтайды, демек Аполлон тығыздауының құрылымын сақтайды. Аполлон тығыздауындағы өзара жанасатын кез келген екі үштік шеңбер Мёбиус түрлендіруі арқылы бір-біріне бейнеленеді, ал кез келген екі Аполлон тығыздауы Мёбиус түрлендіруі арқылы бір-біріне бейнеленеді. Атап айтқанда, кез келген Аполлон тығыздауындағы кез келген екі жанасатын шеңбер үшін, жанасу нүктесінде ортасы орналасқан шеңбердегі инверсия (Мёбиус түрлендіруінің ерекше жағдайы) осы екі шеңберді екі параллель түзуге айналдырады, ал тығыздаудың қалған бөлігін екі параллель түзу арасындағы тығыздаудың ерекше түріне айналдырады. Осы инверсиялардың қосындылары кез келген екі жанасу нүктесін бір-біріне түрлендіру үшін қолданылуы мүмкін. Мёбиус түрлендірулері гиперболалық жазықтықтың изометриялары болып табылады, сондықтан гиперболалық геометрияда барлық Аполлон тығыздауыштары сәйкес келеді. Демек, (гиперболалық) изометрияға дейін тек бір ғана Аполлон тығыны бар. Аполлон тығыны – Клейн тобы деп аталатын Мёбиус түрлендірулері тобының шекті жиынтығы. Мёбиус түрлендірулерінің орнына Евклидтік симметрия түрлендірулері қолданылғанда, Аполлон тығыздауы, әдетте, оны құрастырушы үш шеңбердің симметриясын мұралайды. Дегенмен, кейбір шеңберлердің үштігі бастапқы үштікке қарағанда жоғары симметриялы Аполлон тығыздауларын жасай алады; бұл сол тығыздаудың басқа, симметриялы шеңберлер жиынтығы болған кезде болады. Ерекше симметриялық жағдайларға екі параллель түзу арасындағы Аполлон тығыны (шексіз диэдрлік симметриямен), тең қабыршалы үшбұрышта (үшбұрыш симметриясымен) үш сәйкес шеңберден құралған Аполлон тығыны және радиусы 1 екі шеңбермен және радиусы 2 шеңбермен қоршалған Аполлон тығыны жатады (екі жазықтық симметрия сызығымен).
The Möbius transformations of the plane preserve the shapes and tangencies of circles, and therefore preserve the structure of an Apollonian gasket. Any two triples of mutually tangent circles in an Apollonian gasket may be mapped into each other by a Möbius transformation, and any two Apollonian gaskets may be mapped into each other by a Möbius transformation. In particular, for any two tangent circles in any Apollonian gasket, an inversion in a circle centered at the point of tangency (a special case of a Möbius transformation) will transform these two circles into two parallel lines, and transform the rest of the gasket into the special form of a gasket between two parallel lines. Compositions of these inversions can be used to transform any two points of tangency into each other. Möbius transformations are also isometries of the hyperbolic plane, so in hyperbolic geometry all Apollonian gaskets are congruent. In a sense, there is therefore only one Apollonian gasket, up to (hyperbolic) isometry. The Apollonian gasket is the limit set of a group of Möbius transformations known as a Kleinian group. For Euclidean symmetry transformations rather than Möbius transformations, in general, the Apollonian gasket will inherit the symmetries of its generating set of three circles. However, some triples of circles can generate Apollonian gaskets with higher symmetry than the initial triple; this happens when the same gasket has a different and more symmetric set of generating circles. Particularly symmetric cases include the Apollonian gasket between two parallel lines (with infinite dihedral symmetry), the Apollonian gasket generated by three congruent circles in an equilateral triangle (with the symmetry of the triangle), and the Apollonian gasket generated by two circles of radius 1 surrounded by a circle of radius 2 (with two lines of reflective symmetry).
Дөңгелектердің қисықтығына қарай тығыздағышта әртүрлі диэдрлі симметрия түрлері кездесуі мүмкін.
There are multiple types of dihedral symmetry that can occur with a gasket depending on the curvature of the circles.
Симметрия жоқ
Егер алғашқы бесеудің ішінде ешқандай қисықтық қайталанбаса, тығыздау симметрияға ие болмайды, бұл С1 симметрия тобымен көрсетіледі; (-10, 18, 23, 27) қисықтықтарымен сипатталған тығыздау мысал болып табылады.
If none of the curvatures are repeated within the first five, the gasket contains no symmetry, which is represented by symmetry group C1; the gasket described by curvatures (−10, 18, 23, 27) is an example.
D1 симметриясы
Егер тығыздағы ең үлкен бес шеңбердің екеуінің қисықтығы бірдей болса, онда бұл тығыздағыш D1 симметриясына ие болады, бұл шектейтін шеңбердің диаметрі бойынша шағылысуға сәйкес келеді, және бұрылу симметриясы болмайды.
Whenever two of the largest five circles in the gasket have the same curvature, that gasket will have D1 symmetry, which corresponds to a reflection along a diameter of the bounding circle, with no rotational symmetry.
D2 симметриясы
Егер алғашқы бесеудің ішінде екі түрлі қисықтық қайталанса, тығыздама D2 симметриясына ие болады; мұндай симметрия шектейтін шеңбердің диаметрлері бойынша өзара перпендикуляр екі шағылысудан және 180° бұрылыс симметриясынан тұрады. (−1, 2, 2, 3) қисықтықтарымен сипатталатын тығыздама – масштабталу коэффициентіне дейін D2 симметриясына ие жалғыз Аполлон тығыздамасы.
If two different curvatures are repeated within the first five, the gasket will have D2 symmetry; such a symmetry consists of two reflections (perpendicular to each other) along diameters of the bounding circle, with a two fold rotational symmetry of 180°. The gasket described by curvatures (−1, 2, 2, 3) is the only Apollonian gasket (up to a scaling factor) to possess D2 symmetry.
D3 симметриясы
D3 симметриясы бар бүтін санды тығыздар жоқ. Егер ең кіші оң қисықтығы бар үш шеңбердің қисықтығы бірдей болса, тығыздау D3 симметриясына ие болады, бұл шектейтін шеңбердің диаметрлері бойынша үш көрістілікке (120° бұрышпен орналасқан) және 120° бұрышпен үш есе айналу симметриясына сәйкес келеді. Бұл жағдайда шектейтін шеңбердің қисықтығының үш ішкі шеңбердің қисықтығына қатынасы 2 – 3-ке тең. Бұл қатынас рационал емес болғандықтан, ешқандай интегралды Аполлон шеңберлерінің жиынтығы бұл D3 симметриясына ие емес, бірақ көптеген жиынтықтар оған жақын болады.
There are no integer gaskets with D3 symmetry. If the three circles with smallest positive curvature have the same curvature, the gasket will have D3 symmetry, which corresponds to three reflections along diameters of the bounding circle (spaced 120° apart), along with three fold rotational symmetry of 120°. In this case the ratio of the curvature of the bounding circle to the three inner circles is 2 − 3. As this ratio is not rational, no integral Apollonian circle packings possess this D3 symmetry, although many packings come close.
Д3 шамасында симметрия
Сол жақтағы сурет D3 симметриясы бар сияқты интегралды Аполлон тығыздауы. Дәл сол сурет оң жақта көрсетілген, ішкі шеңберлердің қисықтығын көрсететін белгілермен, бұл тығыздаманың көптеген басқа интегралды Аполлон тығыздамаларына ортақ D1 симметриясына ие екенін көрсетеді. Төмендегі кесте осыған ұқсас D3 интегралды Аполлон тығыздағыштарының бірнешеуін тізімдейді. Бұл тізбек қызықты қасиеттерге ие, ал кестеде қисықтықтардың жіктелуі және алдыңғы жиынтықтан ағымдағы жиынтыққа өтуге қажетті көбейтуші көрсетілген. "a" дискілерінің қисықтығының абсолюттік мәндері 1=a(n) = 4a(n − 1) − a(n − 2) рекурренттік қатынасына бағынады, содан көбейтуші +2 ≈ 3.732050807-ге жуықтайды. + D3 симметриясына жақын интегралды Аполлон тығыздамалары Қисықтық факторлары Көбейтуші a b c d a b d a b c d −1 2 2 3 1×1 1×2 1×3 −4 8 9 9 2×2 2×4 3×3 4.000000000 4.000000000 4.500000000 3.000000000 −15 32 32 33 3×5 4×8 3×11 3.750000000 4.000000000 3.555555556 3.666666667 −56 120 121 121 8×7 8×15 11×11 3.733333333 3.750000000 3.781250000 3.666666667 −209 450 450 451 11×19 15×30 11×41 3.732142857 3.750000000 3.719008264 3.727272727 −780 1680 1681 1681 30×26 30×56 41×41 3.732057416 3.733333333 3.735555556 3.727272727 −2911 6272 6272 6273 41×71 56×112 41×153 3.732051282 3.733333333 3.731112433 3.731707317 −10864 23408 23409 23409 112×97 112×209 153×153 3.732050842 3.732142857 3.732302296 3.731707317 −40545 87362 87362 87363 153×265 209×418 153×571 3.732050810 3.732142857 3.731983425 3.732026144
The figure at left is an integral Apollonian gasket that appears to have D3 symmetry. The same figure is displayed at right, with labels indicating the curvatures of the interior circles, illustrating that the gasket actually possesses only the D1 symmetry common to many other integral Apollonian gaskets. The following table lists more of these almost D3 integral Apollonian gaskets. The sequence has some interesting properties, and the table lists a factorization of the curvatures, along with the multiplier needed to go from the previous set to the current one. The absolute values of the curvatures of the "a" disks obey the recurrence relation 1=a(n) = 4a(n − 1) − a(n − 2) , from which it follows that the multiplier converges to + 2 ≈ 3.732050807. + Integral Apollonian gaskets with near D3 symmetry Curvature Factors Multiplier a b c d a b d a b c d −1 2 2 3 1×1 1×2 1×3 −4 8 9 9 2×2 2×4 3×3 4.000000000 4.000000000 4.500000000 3.000000000 −15 32 32 33 3×5 4×8 3×11 3.750000000 4.000000000 3.555555556 3.666666667 −56 120 121 121 8×7 8×15 11×11 3.733333333 3.750000000 3.781250000 3.666666667 −209 450 450 451 11×19 15×30 11×41 3.732142857 3.750000000 3.719008264 3.727272727 −780 1680 1681 1681 30×26 30×56 41×41 3.732057416 3.733333333 3.735555556 3.727272727 −2911 6272 6272 6273 41×71 56×112 41×153 3.732051282 3.733333333 3.731112433 3.731707317 −10864 23408 23409 23409 112×97 112×209 153×153 3.732050842 3.732142857 3.732302296 3.731707317 −40545 87362 87362 87363 153×265 209×418 153×571 3.732050810 3.732142857 3.731983425 3.732026144
Тізбекті қисықтар
Кез келген n > 0 бүтін саны үшін келесі қисықтықтармен анықталатын Аполлон тығыздауы бар: (−n, n + 1, n(n + 1), n(n + 1) + 1). Мысалы, (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) және (−9, 10, 90, 91) арқылы анықталған тығыздауыштар осы үлгіге сәйкес келеді. n + 1 арқылы анықталатын әрбір ішкі шеңбер басқа тығыздауышта шектейтін шеңберге (−n арқылы анықталады) айналуы мүмкін болғандықтан, бұл тығыздауыштар біріне бірі орналасуы мүмкін. Бұл оң жақтағы суретте көрсетілген, онда n саны 2-ден 20-ға дейін өзгеретін реттік тығыздауыштар бар.
For any integer n > 0, there exists an Apollonian gasket defined by the following curvatures: (−n, n + 1, n(n + 1), n(n + 1) + 1). For example, the gaskets defined by (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73), and (−9, 10, 90, 91) all follow this pattern. Because every interior circle that is defined by n + 1 can become the bounding circle (defined by −n) in another gasket, these gaskets can be nested. This is demonstrated in the figure at right, which contains these sequential gaskets with n running from 2 through 20.