Введение
Фрактал, составленный из касающихся окружностей.
В математике, аполлониева прокладка или аполлониева сеть — это фрактал, генерируемый путем начала с тройки окружностей, каждая из которых касается двух других, и последовательного добавления новых окружностей, каждая из которых касается трех других. Он назван в честь греческого математика Аполлония из Перги.
Симметрии
Трансформации Мёбиуса плоскости сохраняют формы и касательность окружностей, и, следовательно, сохраняют структуру аполлониевой прокладки. Любые две тройки взаимно касающихся окружностей в аполлониевой прокладке могут быть отображены друг в друга преобразованием Мёбиуса, и любые две аполлониевы прокладки могут быть отображены друг в друга преобразованием Мёбиуса. В частности, для любых двух касающихся окружностей в любой аполлониевой прокладке, инверсия относительно окружности, центрированной в точке касания (частный случай преобразования Мёбиуса), преобразует эти две окружности в две параллельные прямые, а остальную часть прокладки преобразует в специальную форму прокладки между двумя параллельными прямыми. Композиции этих инверсий могут быть использованы для преобразования любых двух точек касания друг в друга. Преобразования Мёбиуса также являются изометриями гиперболической плоскости, поэтому в гиперболической геометрии все аполлониевы прокладки конгруэнтны. В некотором смысле, существует, таким образом, только одна аполлониева прокладка с точностью до (гиперболической) изометрии. Аполлониева прокладка является предельным множеством группы преобразований Мёбиуса, известной как группа Клейна. Для преобразований евклидовой симметрии, а не преобразований Мёбиуса, аполлониева прокладка, как правило, наследует симметрии своего образующего множества из трех окружностей. Однако некоторые тройки окружностей могут генерировать аполлониевы прокладки с более высокой симметрией, чем исходная тройка; это происходит, когда та же прокладка имеет другой и более симметричный набор образующих окружностей. Особенно симметричными случаями являются аполлониева прокладка между двумя параллельными прямыми (с бесконечной диэдрической симметрией), аполлониева прокладка, генерируемая тремя конгруэнтными окружностями в равностороннем треугольнике (с симметрией треугольника), и аполлониева прокладка, генерируемая двумя окружностями радиуса 1, окруженными окружностью радиуса 2 (с двумя осями симметрии).
Симметрия комплекса апполлианских кругов
Существует несколько типов диэдрической симметрии, которые могут проявляться у прокладки в зависимости от кривизны окружностей.
Нет симметрии
Если ни одна из кривизн не повторяется среди первых пяти, то прокладка не имеет симметрии, которая обозначается группой симметрии C1; прокладка, описываемая кривизнами (−10, 18, 23, 27), является примером.
Симметрия D1
Когда два из пяти наибольших кругов в прокладке имеют одинаковую кривизну, эта прокладка будет обладать симметрией D1, что соответствует отражению относительно диаметра ограничивающей окружности и не имеет вращательной симметрии.
Симметрия D2
Если среди первых пяти кривизн повторяются две различные, прокладка будет обладать симметрией D2; эта симметрия состоит из двух отражений (перпендикулярных друг другу) относительно диаметров ограничивающей окружности и двукратной вращательной симметрии на 180°. Прокладка, заданная кривизнами (−1, 2, 2, 3), является единственной аполлониевой прокладкой (с точностью до масштабирования), обладающей симметрией D2.
Симметрия D3
Нет целочисленных прокладок с симметрией D3. Если три круга с наименьшей положительной кривизной имеют одинаковую кривизну, то прокладка будет обладать симметрией D3, которая соответствует трем отражениям относительно диаметров ограничивающего круга (расположенных на расстоянии 120° друг от друга), а также трехкратной вращательной симметрии в 120°. В этом случае отношение кривизны ограничивающего круга к кривизне трех внутренних кругов равно 2 − 3. Поскольку это отношение не является рациональным, ни одна целочисленная упаковка кругов Аполлония не обладает этой симметрией D3, хотя многие упаковки к ней близки.
Почти-D3 симметрия
Фигура слева — это интегральная Аполлонова прокладка, которая кажется обладающей симметрией D3. Та же фигура представлена справа, с обозначениями, указывающими на кривизны внутренних окружностей, что демонстрирует, что прокладка на самом деле имеет только симметрию D1, общую для многих других интегральных Аполлоновых прокладок. Следующая таблица содержит больше примеров таких почти D3 интегральных Аполлоновых прокладок. Последовательность обладает некоторыми интересными свойствами, и в таблице приведены разложения кривизн на множители, а также множитель, необходимый для перехода от предыдущего набора к текущему. Абсолютные значения кривизны дисков "a" подчиняются рекуррентному соотношению 1/a(n) = 4a(n − 1) − a(n − 2), из которого следует, что множитель сходится к +2 ≈ 3.732050807. + Интегральные Аполлоновы прокладки с почти D3 симметрией. Факторы кривизны. Множитель. a b c d a b d a b c d −1 2 2 3 1×1 1×2 1×3 −4 8 9 9 2×2 2×4 3×3 4.000000000 4.000000000 4.500000000 3.000000000 −15 32 32 33 3×5 4×8 3×11 3.750000000 4.000000000 3.555555556 3.666666667 −56 120 121 121 8×7 8×15 11×11 3.733333333 3.750000000 3.781250000 3.666666667 −209 450 450 451 11×19 15×30 11×41 3.732142857 3.750000000 3.719008264 3.727272727 −780 1680 1681 1681 30×26 30×56 41×41 3.732057416 3.733333333 3.735555556 3.727272727 −2911 6272 6272 6273 41×71 56×112 41×153 3.732051282 3.733333333 3.731112433 3.731707317 −10864 23408 23409 23409 112×97 112×209 153×153 3.732050842 3.732142857 3.732302296 3.731707317 −40545 87362 87362 87363 153×265 209×418 153×571 3.732050810 3.732142857 3.731983425 3.732026144
Последовательные кривизны
Для любого целого числа n > 0 существует аполлонова прокладка, определяемая следующими кривизнами: (−n, n + 1, n(n + 1), n(n + 1) + 1). Например, прокладки, определенные (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) и (−9, 10, 90, 91) соответствуют этой схеме. Поскольку каждый внутренний круг, определяемый n + 1, может стать ограничивающим кругом (определенным −n) в другой прокладке, эти прокладки могут быть вложены друг в друга. Это демонстрируется на рисунке справа, который содержит последовательные прокладки при n от 2 до 20.