Кіріспе

Теориялық физикада супер Пуанкаре алгебрасы – Пуанкаре алгебрасының суперсимметрияны, яғни бозон және фермион арасындағы байланысты қамтитын кеңейтілген түрі. Олар суперсимметрия алгебраларының (орталық зарядтар мен ішкі симметриясыз) мысалы және Ли супералгебралары болып табылады. Сондықтан супер Пуанкаре алгебрасы – Z2 дәрежелі векторлық кеңістік, онда жұп бөлігі Пуанкаре алгебрасын қамтитын Ли алгебрасы, ал тақ бөлігі – жұп бөлігіндегі мәндермен антикоммутациялық қатынасы бар спинорлардан құралған.

Бейресми эскиз

Поинкаре алгебрасы Минковский кеңістік-уақытының изометрияларын сипаттайды. Лоренц тобының бейнелеу теориясынан Лоренц тобы екі тең емес кешенді спинорлық бейнелеуге ие екені белгілі. Олардың тензорлық көбейтіндісін алғанда, біз аламыз; бейнелеулердің тензорлық көбейтінділерінің тікелей қосындыға жіктелуі Литтлвуд-Ричардсон ережесімен беріледі. Әдетте, мұндай жіктелуді нақты бөлшектермен байланыстырады: мысалы, хиральды векторлық бөлшек болып табылатын пион кварк-антиқварк жұбынан тұрады. Дегенмен, Минковский кеңістігін де сол бейнелеумен сәйкестендіруге болады. Бұл табиғи сұраққа әкеледі: егер Минковский кеңістік-уақыты қосымша бейнелеуге жатса, онда Пуанкаре симметриясын негізгі бейнелеуге дейін кеңейтуге бола ма? Жарайды, бола береді: бұл супер Поинкаре алгебрасының өзі. Сәйкес эксперименттік сұрақ туындайды: егер біз қосымша бейнелеуде өмір сүрсек, онда негізгі бейнелеу қайда жасырынып жатыр? Бұл эксперименттік тұрғыдан әлі табылмаған суперсимметрия бағдарламасы.

Тарих

Супер Пуанкаре алгебрасы алғаш рет Хааг–Лопушанский–Сонниус теоремасы аясында, Кольман–Мандула теоремасының қорытындыларынан қашу құралы ретінде ұсынылды. Яғни, Кольман–Мандула теоремасы – бұл «жоқ» теоремасы, ол Пуанкаре алгебрасын байқалатын физикалық бөлшектер спектрінің ішкі симметрияларын сипаттауға мүмкіндік беретін қосымша симметриялармен кеңейтуге болмайтындығын көрсетеді. Алайда, Кольман–Мандула теоремасы алгебраны кеңейту коммутатор арқылы жүзеге асырылады деп есептеді; осы болжамды, демек теореманы антикоммутаторды қарастыру арқылы, яғни антикоммутациялық Грассман сандарын қолдану арқылы болдырмауға болады. Ұсыныс суперсимметрия алгебрасын қарастыру болды, ол ішкі симметриялардың компактты Ли алгебрасы арқылы супер Пуанкаре алгебрасының орталық кеңейтуінің жартылай тура көбейтіндісі ретінде анықталады.

Супер-Понкаре тобы және суперғарыш

Поинкаре алгебрасы Минковский кеңістігінің изометрияларының Поинкаре тобын тудырғандай, суперпоинкаре алгебрасы, Ли супералгебрасының мысалы, супертоп деп аталатын құрылымды тудырады. Бұл суперкеңістікті суперзарядтармен анықтау үшін қолданылуы мүмкін: олар – суперпуанкаре тобындағы Лоренц тобының оң жақтанғы косеттері. Ғарыш-уақыт трансляцияларының генераторы ретінде қарастырылғандай, зарядтар , , суперкеңістіктің "спиндік координаттарындағы" суперкеңістік трансляцияларының генераторлары ретінде қарастырылады. Яғни, біз суперкеңістікті координаттармен белгіленген "спин өлшемдерімен" бірге Минковский кеңістігінің тікелей қосындысы ретінде қарастыра аламыз. Суперзаряд координаттармен белгіленген бағытта трансляцияларды тудырады. Есептеу бойынша, спин өлшемдері болады.

Суперкеңістіктің белгісі

Сондықтан суперзарядтармен бірге Минковский кеңістігінен тұратын суперкеңістік немесе кейде жай ғана деп белгіленеді.

SUSY 3 + 1 Минковский кеңістігі-уақытында

(3 + 1) Минковский кеңістік-уақытында Хааг–Łopuszański–Sohnius теоремасы N спинор генераторлары бар SUSY алгебрасының келесідей екенін мәлімдейді. Жұлдызды Лай супералгебрасының жұп бөлігі – Пуанкаре алгебрасы мен редуктивті Лай алгебрасы B-нің тікелей қосындысы (оның өзі-жапсарлас бөлігі нақты, компактты Лай тобының жанама кеңістігі болып табылады). Алгебраның тақ бөлігі былай болады:

мұнда және – Пуанкаре алгебрасының нақты бейнелері. (Мақалада бұрын қолданылған белгілермен салыстырғанда, олар сәйкесінше және болып табылады, сондай-ақ бұрынғы белгі енгізілген түсіндірмеге де қараңыз). Екі компонент * конъюгациясы арқылы бір-біріне конъюгацияланады. V – B-нің N өлшемді кешенді бейнелеуі, ал V* – оның дуалды бейнелеуі. Тақ бөлік үшін Лай скобкасы симметриялық эквивариантты жұптастыру арқылы беріледі {.,} тақ бөлігінде, оның мәндері жұп бөлікте жатады. Атап айтқанда, оның Пуанкаре алгебрасының аудармалар арқылы туындаған идеалына дейінгі қысқартылған араласқышы – (1/2,1/2) араласқышының нөлден өзге көбейтіндісі және «қысқарту араласқышы». Екінші жағынан, оның қысқартылған араласқышы – (0,0) араласқышы және (0,0) арасындағы (антисимметриялық) араласқыш пен A-дан B-ға дейінгі антисимметриялық араласқыштың көбейтіндісі. Оны конъюгациялап, екінші жартысына сәйкес жағдайды алуға болады.

N = 1

B енді (R симметриясы деп аталады) және V – 1D ұсынылымы, заряды 1. A (жоғарыда анықталған араластырғыш) антисимметриялық болғандықтан нөлге тең болуы керек. Шындығында, N=1 SUSY-нің екі түрі бар, біреуі (яғни B нөлдік өлшемді) және екіншісі .

N = 2

B қазіргі кезде, ал V – нөлдік зарядты 2D екіөлшемдік бейнелеу. Енді, A – B бөлігіне нөлден өзге араласушы. Балама ретінде, V – нөлден өзге зарядты 2D дублет болуы мүмкін. Бұл жағдайда, A нөл болуы керек. Тағы бір мүмкіндік – B-ны астында инвариант деп қарастыру және оны 1 зарядты 1D өкілдікке және -1 зарядты тағы бір 1D өкілдікке жіктеу. Араласушы A кешенді болады, оның нақты бөлігі -ға, ал жорамал бөлігі -ға өтеді. Немесе B болуы мүмкін, V – нөлдік зарядты 2D дублет өкілдігі, ал A – кешенді араласушы, оның нақты бөлігі -ға, ал жорамал бөлігі -ға өтеді. Бұл мүмкіндіктердің барлығын қамтымайды. Біз N=2 суперсимметриясының бірнешеуін көреміз; сондай-ақ, N>2 үшін SUSY-лер де бірегей емес (іс жүзінде, жағдай нашарлай түседі).

N = 4

Бұл - гравитация болмаған теориядағы ең көп суперсимметрия саны.

N = 8

Бұл кез келген суперсимметриялық теориядағы ең жоғары суперсимметрия саны. Осы шектен асып кеткенде, кез келген массасыз суперкөптік құрамында гелициттігі бар сектор болады, сондықтан Минковский кеңістігіндегі мұндай теориялар бос (өзара әрекеттеспейтін) болуы тиіс.

SUSY әр түрлі өлшемдерінде

0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1 және 10 + 1 өлшемдерде SUSY алгебрасы оң бүтін сан N арқылы жіктеледі.

1 + 1, 5 + 1 және 9 + 1 өлшемдерде SUSY алгебрасы екі теріс емес бүтін сан (M, N) арқылы жіктеледі, олардың кем дегенде біреуі нөлден өзгеше. M сол жақ спинорлардың санын, ал N оң жақ спинорлардың санын көрсетеді. Бұның себебі спиндердің шындық шартына байланысты. Бұдан былай d = 9 дегеніміз Минковски кеңістігінде d = 8 + 1 дегенді білдіреді, және т.б. Суперсимметрия алгебрасының құрылымы негізінен фермиондық генераторлардың санымен анықталады, яғни d өлшемдегі спинордың нақты өлшеміне көбейтілген N санымен. Өлшемді кеміту арқылы жоғары өлшемді суперсимметрия алгебрасынан төмен өлшемді суперсимметрия алгебрасын алу оңай болғандықтан.

Суперсимметриялық теориялардың өлшемдеріндегі жоғарғы шегі

Суперсимметриялы теориялардың рұқсат етілген ең жоғары өлшемі – , бұл М-теориясының төмен энергиялық лимиті болып табылатын 11 өлшемді супергравитация деп аталатын жалғыз теорияны қабылдайды. Бұл супергравитацияны қамтиды: супергравитация болмаса, рұқсат етілген ең жоғары өлшем – .

d = 11

Бірден-бір мысал – 32 суперзарядқа ие N = 1 суперсимметриясы.

d = 10

d = 11, N = 1 SUSY-ден N = (1, 1) хиральді емес SUSY алгебрасы алынады, ол сондай-ақ IIA типті суперсимметрия деп аталады. Сондай-ақ, N = (2, 0) SUSY алгебрасы бар, ол IIB типті суперсимметрия деп аталады. Екеуінде де 32 суперзаряд бар. N = (1, 0) 16 суперзарядты SUSY алгебрасы 10 өлшемдегі ең төменгі SUSY алгебрасы болып табылады. Ол I типті суперсимметрия деп те аталады. IIA / IIB / I типті суперструна теориясының SUSY алгебрасы сәйкес атаумен беріледі. Гетеротикалық суперструналардың суперсимметрия алгебрасы I типті болып табылады.