Введение

В теоретической физике супералгебра Пуанкаре — это расширение алгебры Пуанкаре, включающее в себя суперсимметрию, связь между бозонами и фермионами. Это примеры суперсимметрических алгебр (без центральных зарядов или внутренних симметрий) и являются супералгебрами Ли. Следовательно, супералгебра Пуанкаре представляет собой Z2-градуированное векторное пространство с градуированным скобком Ли, такое что чётная часть является алгеброй Ли, содержащей алгебру Пуанкаре, а нечётная часть построена из спиноров, для которых выполняется антикоммутационное соотношение со значениями в чётной части.

Неофициальный эскиз

Алгебра Пуанкаре описывает изометрии пространства-времени Минковского. Из теории представлений группы Лоренца известно, что группа Лоренца допускает два неэквивалентных комплексных спинорных представления, обозначаемых и. Разложение тензорного произведения представлений в прямую сумму дается правилом Литтлвуда — Ричардсона. Обычно такое разложение рассматривается в связи с конкретными частицами: например, пион, являющийся хиральной векторной частицей, состоит из пары кварк-антикварк. Однако можно также отождествить с самим пространством-временем Минковского. Это приводит к естественному вопросу: если пространство-время Минковского принадлежит к присоединенному представлению, то можно ли расширить симметрию Пуанкаре до фундаментального представления? Да, это возможно: это как раз супералгебра Пуанкаре. Соответствующий экспериментальный вопрос: если мы находимся в присоединенном представлении, то где скрывается фундаментальное представление? Это программа суперсимметрии, которая пока не была обнаружена экспериментально.

История

Супер-алгебра Пуанкаре была впервые предложена в контексте теоремы Хаага — Лопушанского — Сонниуса как способ избежать выводов теоремы Колемана — Мандулы. Иными словами, теорема Колемана — Мандулы — это запрещающая теорема, утверждающая, что алгебру Пуанкаре нельзя расширить дополнительными симметриями, которые могли бы описывать внутренние симметрии наблюдаемого спектра физических частиц. Однако теорема Колемана — Мандулы исходила из предположения, что расширение алгебры будет осуществляться посредством коммутатора; это предположение, а следовательно, и сама теорема, можно обойти, рассматривая антикоммутатор, то есть используя антикоммутирующие числа Грассмана. Предлагалось рассмотреть суперсимметрическую алгебру, определяемую как полупрямое произведение центрального расширения супералгебры Пуанкаре и компактной алгебры Ли внутренних симметрий.

Группа Супер-Понкаре и суперпространство

Так же, как алгебра Пуанкаре генерирует группу изометрий пространства Минковского, супералгебра Пуанкаре, являющаяся примером супералгебры Ли, генерирует то, что известно как супергруппа. Это можно использовать для определения сверхпространства с суперзарядами: они представляют собой правые сомножители группы Лоренца в супергруппе Пуанкаре. Подобно тому, как интерпретируется как генератор сдвигов пространства-времени, заряды , где , интерпретируются как генераторы сдвигов в сверхпространстве в "спиновых координатах" сверхпространства. Иными словами, сверхпространство можно рассматривать как прямую сумму пространства Минковского и "спиновых размерностей", индексируемых координатами . Суперзаряд генерирует сдвиги в направлении, индексируемом координатой . По подсчетам, существует спиновых размерностей.

Обозначение суперпространства

Суперпространство, состоящее из пространства Минковского с суперзарядами, поэтому обозначается или иногда просто .

SUSY в пространстве-времени Минковского 3 + 1

В (3 + 1) пространстве-времени Минковского теорема Хаага — Łopuszański — Зонниуса утверждает, что алгебра SUSY с N спинорными генераторами имеет следующий вид. Четная часть суперли-алгебры звезды является прямой суммой алгебры Пуанкаре и редуктивной алгебры Ли B (такой, что ее самосопряженная часть является касательным пространством реальной компактной группы Ли). Нечетная часть алгебры будет

где и — конкретные представления алгебры Пуанкаре. (По сравнению с обозначениями, использованными ранее в статье, они соответствуют и , соответственно; см. также сноску, где было введено предыдущее обозначение). Обе компоненты сопряжены друг другу посредством * -сопряжения. V — это N-мерное комплексное представление B, а V* — его двойственное представление. Ли-скобка для нечетной части задается симметричным эквивариантным спариванием {.,.} на нечетной части со значениями в четной части. В частности, ее редуцированный интертвинер из в идеал алгебры Пуанкаре, порожденный трансляциями, задается как произведение ненулевого интертвиннера из в (1/2, 1/2) на "сокращающий интертвинер" из в тривиальное представление. С другой стороны, ее редуцированный интертвинер из является произведением (антисимметричного) интертвиннера из в (0, 0) и антисимметричного интертвиннера A из в B. Сопрягите его, чтобы получить соответствующий случай для другой половины.

N = 1

B теперь (называется R-симметрия), а V — одномерное представление с зарядом 1. A (переплетение, определенное выше) должно быть равно нулю, так как оно антисимметрично. На самом деле, существует две версии N=1 SUSY: одна без (то есть B является нульмерным), а другая с .

N = 2

B – сейчас, а V – двумерное дублетное представление с нулевым зарядом. Теперь A – ненулевой интертвинер к части B.

В качестве альтернативы, V может быть 2D дублетом с ненулевым зарядом. В этом случае A должен быть равен нулю. Еще одна возможность – допустить, что B инвариантен относительно и и распадается на 1D-представление с зарядом 1 и еще одно 1D-представление с зарядом -1. Интертвинер A будет комплексным, с действительной частью, отображающей в , и мнимой частью, отображающей в .
Или мы могли бы иметь B, а V – дублетное представление с нулевыми зарядами, и A – комплексный интертвинер, с действительной частью, отображающей в , и мнимой частью, отображающей в .
Это даже не исчерпывает всех возможностей. Мы видим, что существует более одной N=2 суперсимметрии; аналогично, SUSY для N > 2 также не являются уникальными (на самом деле, ситуация только усугубляется).

N = 4

Это максимальное число суперсимметрий в теории без гравитации.

N = 8

Это максимальное количество суперсимметрий в любой суперсимметрической теории. При количестве суперсимметрий больше , любая безмассовая супермножественность содержит сектор с гелицитетностью , таким образом, такие теории в пространстве Минковского должны быть свободными (несвязанными).

SUSY различных размеров

В 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1 и 10 + 1 измерениях алгебра суперсимметрии классифицируется положительным целым числом N.

В 1 + 1, 5 + 1 и 9 + 1 измерениях алгебра суперсимметрии классифицируется двумя неотрицательными целыми числами (M, N), при этом хотя бы одно из них отлично от нуля. M представляет собой число левых суперсимметрий, а N – число правых суперсимметрий. Это связано с условиями реальности спиноров. Далее, под d = 9 подразумевается d = 8 + 1 в метрике Минковского и т.п. Структура алгебры суперсимметрии в основном определяется количеством фермионных генераторов, то есть числом N, умноженным на вещественную размерность спинора в d измерениях. Это объясняется тем, что алгебру суперсимметрии меньшей размерности можно легко получить из алгебры большей размерности с помощью понижения размерности.

Верхняя граница по измерению суперсимметричных теорий

Максимальная разрешенная размерность теорий с суперсимметрией равна , что допускает существование единственной теории, называемой 11-мерной супергравитацией, являющейся пределом малой энергии M-теории. Она включает в себя супергравитацию: без супергравитации максимальная разрешенная размерность равна .

d = 11

Единственный пример — N = 1 суперсимметрия с 32 суперзарядами.

d = 10

Из d = 11, N = 1 SUSY получается N = (1, 1) нехиральная алгебра суперсимметрии, которая также называется суперсимметрией типа IIA. Существует также N = (2, 0) алгебра суперсимметрии, которая называется суперсимметрией типа IIB. Обе они имеют 32 суперзаряда. N = (1, 0) алгебра суперсимметрии с 16 суперзарядами является минимальной алгеброй суперсимметрии в 10 измерениях. Она также называется суперсимметрией типа I. Теории суперструн типов IIA, IIB и I обладают алгеброй суперсимметрии с соответствующими названиями. Алгебра суперсимметрии для гетеротических суперструн соответствует алгебре типа I.