Геометрияны дыбыс арқылы анықтау мүмкін бе? Математикалық теориямен барабанның пішінін дыбыс спектрінен табуға қатысты мақала. Кацтың зерттеуі, марапаттар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дауылдың пішінін есту – бұл оның шығаратын дыбысынан, яғни математикалық теорияны қолдану арқылы жоғары гармоникалар тізімінен барабанның пішіні туралы ақпаратты шешіп алу. "Дауылдың пішінін ести аламыз ба?" – бұл сұрақ 1966 жылы Марк Кактың "Американдық математикалық айлықта" жариялаған мақаласының танымал атауы, бірақ осы нақты сөз тіркесі Липман Берске қатысты. Осыған ұқсас сұрақтарды 1882 жылға дейін физик Артур Шустерге дейін табуға болады. Кац өзінің мақаласы үшін 1967 жылы Лестер Р. Форд сыйлығын және 1968 жылы Шовене сыйлығын алды. Дауылдың дірілдеу жиілігі оның пішініне байланысты. Гельмгольц теңдеуі пішін белгілі болған жағдайда жиіліктерді есептейді. Бұл жиіліктер кеңістіктегі Лапласианның өзіндік мәндері болып табылады. Басты мәселе – жиіліктер белгілі болса, пішінді болжауға бола ма; мысалы, Реоль үшбұрышын осылайша тануға бола ма. Кац екі түрлі пішіннің бірдей жиіліктер жиынтығын беруі мүмкін емесе, білмейтінін мойындады. Жиіліктер пішінді анықтай ма деген сұраққа 1990 жылдардың басында Гордон, Вебб және Вулперт теріс жауап берді.
To hear the shape of a drum is to infer information about the shape of the drumhead from the sound it makes, i. e., from the list of overtones, via the use of mathematical theory. "Can One Hear the Shape of a Drum?" is the title of a 1966 article by Mark Kac in the American Mathematical Monthly which made the question famous, though this particular phrasing originates with Lipman Bers. Similar questions can be traced back all the way to physicist Arthur Schuster in 1882. For his paper, Kac was given the Lester R. Ford Award in 1967 and the Chauvenet Prize in 1968. The frequencies at which a drumhead can vibrate depend on its shape. The Helmholtz equation calculates the frequencies if the shape is known. These frequencies are the eigenvalues of the Laplacian in the space. A central question is whether the shape can be predicted if the frequencies are known; for example, whether a Reuleaux triangle can be recognized in this way. Kac admitted that he did not know whether it was possible for two different shapes to yield the same set of frequencies. The question of whether the frequencies determine the shape was finally answered in the negative in the early 1990s by Gordon, Webb and Wolpert.
Жауап
1964 жылы Джон Милнор Эрнст Витттің торлар туралы теоремасы 16 өлшемді жалпақ торилердің бір жұбының бар екендігін көрсетті, олардың өзіндік мәндері бірдей, бірақ пішіндері әртүрлі. Дегенмен, екі өлшемдегі мәселе 1992 жылға дейін шешілмей келді, сонда Каролин Гордон, Дэвид Уэбб және Скотт Вулперт Сунада әдісіне негізделген, жазықтықта әртүрлі пішінді, бірақ бірдей өзіндік мәндері бар аймақтар жұбын құрастырды. Бұл аймақтар қуыс көпбұрыштар. Екі аймақтың да өзіндік мәндері бірдей екенін дәлелдеу үшін Лапласианның симметриясы қолданылады. Бұл идеяны Бузер, Конвей, Дойл және Семмлер кеңейтіп, көптеген ұқсас мысалдар жасады. Осылайша, Кацтың сұрағына жауап: көптеген пішіндер үшін барабанның пішінін толық естіп білу мүмкін емес. Бірақ, кейбір ақпаратты болжауға болады. Алайда, Стив Зельдич Кац сұрағына жауаптың оң екенін дәлелдеді, егер шектеулер белгілі бір дөңес жазықтық аймақтарына, аналитикалық шекарасымен қойылатын болса. Екі дөңес емес аналитикалық доменнің бірдей өзіндік мәндерге ие болуы мүмкін бе, әлі белгісіз. Белгілі бір домендер жиыны C∞ топологиясында компактты болып табылады. Сонымен қатар, сфера (мысалы) Ченгтің өзіндік мәндерді салыстыру теоремасы бойынша спектральды тұрақты. Озгуд, Филлипс және Сарнак көрсеткендей, берілген туындағы Риман беттерінің модульдік кеңістігі кез келген нүкте арқылы үздіксіз изоспектрлік ағынды қабылдамайды және Фрешет–Шварц топологиясында компактты болады.
In 1964, John Milnor observed that a theorem on lattices due to Ernst Witt implied the existence of a pair of 16 dimensional flat tori that have the same eigenvalues but different shapes. However, the problem in two dimensions remained open until 1992, when Carolyn Gordon, David Webb, and Scott Wolpert constructed, based on the Sunada method, a pair of regions in the plane that have different shapes but identical eigenvalues. The regions are concave polygons. The proof that both regions have the same eigenvalues uses the symmetries of the Laplacian. This idea has been generalized by Buser, Conway, Doyle, and Semmler who constructed numerous similar examples. So, the answer to Kac's question is: for many shapes, one cannot hear the shape of the drum completely. However, some information can be inferred. On the other hand, Steve Zelditch proved that the answer to Kac's question is positive if one imposes restrictions to certain convex planar regions with analytic boundary. It is not known whether two non convex analytic domains can have the same eigenvalues. It is known that the set of domains isospectral with a given one is compact in the C∞ topology. Moreover, the sphere (for instance) is spectrally rigid, by Cheng's eigenvalue comparison theorem. It is also known, by a result of Osgood, Phillips, and Sarnak that the moduli space of Riemann surfaces of a given genus does not admit a continuous isospectral flow through any point, and is compact in the Fréchet–Schwartz topology.
Вейл формуласы
Вейл формуласы λn-нің қаншалықты жылдам өсіп жатқанын санау арқылы барабанның А ауданы туралы шешім шығаруға мүмкіндік береді. Біз N(R) дегенді R-ден кіші өзіндік мәндердің саны деп анықтаймыз және мынаны аламыз:
Weyl's formula states that one can infer the area A of the drum by counting how rapidly the λn grow. We define N(R) to be the number of eigenvalues smaller than R and we get
мұнда d – өлшем, ал – d өлшемді бірлік шардың көлемі. Вейл сондай-ақ, төмендегі жуықтаудағы келесі мүше D-нің периметрін береді деп болжады. Басқаша айтқанда, егер L периметр ұзындығын (немесе жоғары өлшемде бет ауданын) білдірсе, онда мынадай болуы керек:
where d is the dimension, and is the volume of the d dimensional unit ball. Weyl also conjectured that the next term in the approximation below would give the perimeter of D. In other words, if L denotes the length of the perimeter (or the surface area in higher dimension), then one should have
Тегіс шекара үшін, мұны 1980 жылы Виктор Иврий дәлелдеді. Бұл көпқырлылықта шар сияқты екі параметрлі периодтық геодезиялықтар отбасы да болмауы керек.
For a smooth boundary, this was proved by Victor Ivrii in 1980. The manifold is also not allowed to have a two parameter family of periodic geodesics, such as a sphere would have.